Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7925 / 5354
↖ ↑ ↗
← S 48.283193°
E168.266602°		 ← 3 251.71 m → S 48.283193°
E168.310547°		 →
↑
3 250.80 m
↓
↑
3 250.80 m
↓
S 48.312428°
E168.266602°		 ← 3 249.85 m →
10 567 654 m²		 S 48.312428°
E168.310547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.96746826171875 y=0.65362548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.96746826171875 × 213)
    floor (0.96746826171875 × 8192)
    floor (7925.5)     		tx = 7925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65362548828125 × 213)
    floor (0.65362548828125 × 8192)
    floor (5354.5)     		ty = 5354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7925 / 5354 ti = "13/7925/5354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7925/5354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7925 ÷ 213
    7925 ÷ 8192     		x = 0.9674072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5354 ÷ 213
    5354 ÷ 8192     		y = 0.653564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9674072265625 × 2 - 1) × π
    0.934814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.93680622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653564453125 × 2 - 1) × π
    -0.30712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.96487391555249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93680622} λ = 2.93680622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.96487391555249))-π/2
    2×atan(0.381031238824014)-π/2
    2×0.364047818705764-π/2
    0.728095637411527-1.57079632675     		φ = -0.84270069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93680622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.266602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84270069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.283193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7925 KachelY 5354 2.93680622 -0.84270069 168.266602 -48.283193
    Oben rechts KachelX + 1 7926 KachelY 5354 2.93757321 -0.84270069 168.310547 -48.283193
    Unten links KachelX 7925 KachelY + 1 5355 2.93680622 -0.84321094 168.266602 -48.312428
    Unten rechts KachelX + 1 7926 KachelY + 1 5355 2.93757321 -0.84321094 168.310547 -48.312428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84270069--0.84321094) × R
    0.000510249999999934 × 6371000     		dl = 3250.80274999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84270069--0.84321094) × R
    0.000510249999999934 × 6371000     		dr = 3250.80274999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93680622-2.93757321) × cos(-0.84270069) × R
    0.000766990000000245 × 0.665449343914145 × 6371000     		do = 3251.71375387241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93680622-2.93757321) × cos(-0.84321094) × R
    0.000766990000000245 × 0.665068384757071 × 6371000     		du = 3249.8521995076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84270069)-sin(-0.84321094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665449343914145-0.665068384757071)×R²
    abs(2.93757321-2.93680622)×0.000380959157074812×R²
    0.000766990000000245×0.000380959157074812×6371000²
    0.000766990000000245×0.000380959157074812×40589641000000     		ar = 10567654.4695559m²