Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7925 / 10914
↖ ↑ ↗
← N 75.970890°
W136.466675°		 ← 148.06 m → N 75.970890°
W136.461182°		 →
↑
148.13 m
↓
↑
148.13 m
↓
N 75.969558°
W136.466675°		 ← 148.08 m →
21 933 m²		 N 75.969558°
W136.461182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.120933532714844 y=0.166542053222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.120933532714844 × 216)
    floor (0.120933532714844 × 65536)
    floor (7925.5)     		tx = 7925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166542053222656 × 216)
    floor (0.166542053222656 × 65536)
    floor (10914.5)     		ty = 10914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7925 / 10914 ti = "16/7925/10914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7925/10914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7925 ÷ 216
    7925 ÷ 65536     		x = 0.120925903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10914 ÷ 216
    10914 ÷ 65536     		y = 0.166534423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.120925903320312 × 2 - 1) × π
    -0.758148193359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.38179279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166534423828125 × 2 - 1) × π
    0.66693115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.09522600859341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38179279} λ = -2.38179279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09522600859341))-π/2
    2×atan(8.1272775972361)-π/2
    2×1.44836924605808-π/2
    2.89673849211615-1.57079632675     		φ = 1.32594217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38179279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.466675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32594217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.970890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7925 KachelY 10914 -2.38179279 1.32594217 -136.466675 75.970890
    Oben rechts KachelX + 1 7926 KachelY 10914 -2.38169692 1.32594217 -136.461182 75.970890
    Unten links KachelX 7925 KachelY + 1 10915 -2.38179279 1.32591892 -136.466675 75.969558
    Unten rechts KachelX + 1 7926 KachelY + 1 10915 -2.38169692 1.32591892 -136.461182 75.969558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32594217-1.32591892) × R
    2.32500000001412e-05 × 6371000     		dl = 148.1257500009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32594217-1.32591892) × R
    2.32500000001412e-05 × 6371000     		dr = 148.1257500009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38179279--2.38169692) × cos(1.32594217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.242414834272593 × 6371000     		do = 148.064016040274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38179279--2.38169692) × cos(1.32591892) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.24243739072211 × 6371000     		du = 148.077793243773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32594217)-sin(1.32591892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242414834272593-0.24243739072211)×R²
    abs(-2.38169692--2.38179279)×2.25564495168473e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.25564495168473e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.25564495168473e-05×40589641000000     		ar = 21933.1138042633m²