Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79246 / 83835
↖ ↑ ↗
← S 44.830552°
E 37.655639°		 ← 216.61 m → S 44.830552°
E 37.658386°		 →
↑
216.61 m
↓
↑
216.61 m
↓
S 44.832500°
E 37.655639°		 ← 216.60 m →
46 919 m²		 S 44.832500°
E 37.658386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604602813720703 y=0.639614105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604602813720703 × 217)
    floor (0.604602813720703 × 131072)
    floor (79246.5)     		tx = 79246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639614105224609 × 217)
    floor (0.639614105224609 × 131072)
    floor (83835.5)     		ty = 83835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79246 / 83835 ti = "17/79246/83835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79246/83835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79246 ÷ 217
    79246 ÷ 131072     		x = 0.604598999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83835 ÷ 217
    83835 ÷ 131072     		y = 0.639610290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604598999023438 × 2 - 1) × π
    0.209197998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.65721489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639610290527344 × 2 - 1) × π
    -0.279220581054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.877197326147408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65721489} λ = 0.65721489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877197326147408))-π/2
    2×atan(0.415947043481513)-π/2
    2×0.39417779302808-π/2
    0.78835558605616-1.57079632675     		φ = -0.78244074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65721489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.655639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78244074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.830552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79246 KachelY 83835 0.65721489 -0.78244074 37.655639 -44.830552
    Oben rechts KachelX + 1 79247 KachelY 83835 0.65726283 -0.78244074 37.658386 -44.830552
    Unten links KachelX 79246 KachelY + 1 83836 0.65721489 -0.78247474 37.655639 -44.832500
    Unten rechts KachelX + 1 79247 KachelY + 1 83836 0.65726283 -0.78247474 37.658386 -44.832500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78244074--0.78247474) × R
    3.39999999999785e-05 × 6371000     		dl = 216.613999999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78244074--0.78247474) × R
    3.39999999999785e-05 × 6371000     		dr = 216.613999999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65721489-0.65726283) × cos(-0.78244074) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.70919489997675 × 6371000     		do = 216.606377129483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65721489-0.65726283) × cos(-0.78247474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709170929142595 × 6371000     		du = 216.599055819723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78244074)-sin(-0.78247474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70919489997675-0.709170929142595)×R²
    abs(0.65726283-0.65721489)×2.39708341549516e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39708341549516e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39708341549516e-05×40589641000000     		ar = 46919.1808309889m²