Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7924 / 10912
↖ ↑ ↗
← N 75.973553°
W136.472168°		 ← 148.05 m → N 75.973553°
W136.466675°		 →
↑
148 m
↓
↑
148 m
↓
N 75.972222°
W136.472168°		 ← 148.07 m →
21 912 m²		 N 75.972222°
W136.466675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.120918273925781 y=0.166511535644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.120918273925781 × 216)
    floor (0.120918273925781 × 65536)
    floor (7924.5)     		tx = 7924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166511535644531 × 216)
    floor (0.166511535644531 × 65536)
    floor (10912.5)     		ty = 10912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7924 / 10912 ti = "16/7924/10912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7924/10912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7924 ÷ 216
    7924 ÷ 65536     		x = 0.12091064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10912 ÷ 216
    10912 ÷ 65536     		y = 0.16650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12091064453125 × 2 - 1) × π
    -0.7581787109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.38188867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16650390625 × 2 - 1) × π
    0.6669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09541775619189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38188867} λ = -2.38188867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09541775619189))-π/2
    2×atan(8.12883613261549)-π/2
    2×1.44839248512803-π/2
    2.89678497025606-1.57079632675     		φ = 1.32598864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38188867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.472168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32598864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.973553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7924 KachelY 10912 -2.38188867 1.32598864 -136.472168 75.973553
    Oben rechts KachelX + 1 7925 KachelY 10912 -2.38179279 1.32598864 -136.466675 75.973553
    Unten links KachelX 7924 KachelY + 1 10913 -2.38188867 1.32596541 -136.472168 75.972222
    Unten rechts KachelX + 1 7925 KachelY + 1 10913 -2.38179279 1.32596541 -136.466675 75.972222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32598864-1.32596541) × R
    2.32300000000407e-05 × 6371000     		dl = 147.998330000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32598864-1.32596541) × R
    2.32300000000407e-05 × 6371000     		dr = 147.998330000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38188867--2.38179279) × cos(1.32598864) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.24236975008597 × 6371000     		do = 148.051920547148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38188867--2.38179279) × cos(1.32596541) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.24239228739382 × 6371000     		du = 148.065687495003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32598864)-sin(1.32596541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24236975008597-0.24239228739382)×R²
    abs(-2.38179279--2.38188867)×2.25373078498459e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.25373078498459e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.25373078498459e-05×40589641000000     		ar = 21912.4557380264m²