Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79210 / 83463
↖ ↑ ↗
← S 44.101393°
E 37.556763°		 ← 219.28 m → S 44.101393°
E 37.559509°		 →
↑
219.35 m
↓
↑
219.35 m
↓
S 44.103366°
E 37.556763°		 ← 219.28 m →
48 100 m²		 S 44.103366°
E 37.559509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604328155517578 y=0.636775970458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604328155517578 × 217)
    floor (0.604328155517578 × 131072)
    floor (79210.5)     		tx = 79210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636775970458984 × 217)
    floor (0.636775970458984 × 131072)
    floor (83463.5)     		ty = 83463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79210 / 83463 ti = "17/79210/83463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79210/83463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79210 ÷ 217
    79210 ÷ 131072     		x = 0.604324340820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83463 ÷ 217
    83463 ÷ 131072     		y = 0.636772155761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604324340820312 × 2 - 1) × π
    0.208648681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.65548917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636772155761719 × 2 - 1) × π
    -0.273544311523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.859364799488747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65548917} λ = 0.65548917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859364799488747))-π/2
    2×atan(0.423430960475511)-π/2
    2×0.400540906560422-π/2
    0.801081813120845-1.57079632675     		φ = -0.76971451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65548917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.556763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76971451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.101393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79210 KachelY 83463 0.65548917 -0.76971451 37.556763 -44.101393
    Oben rechts KachelX + 1 79211 KachelY 83463 0.65553710 -0.76971451 37.559509 -44.101393
    Unten links KachelX 79210 KachelY + 1 83464 0.65548917 -0.76974894 37.556763 -44.103366
    Unten rechts KachelX + 1 79211 KachelY + 1 83464 0.65553710 -0.76974894 37.559509 -44.103366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76971451--0.76974894) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dl = 219.353530000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76971451--0.76974894) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dr = 219.353530000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65548917-0.65553710) × cos(-0.76971451) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.71810938000103 × 6371000     		do = 219.28333803929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65548917-0.65553710) × cos(-0.76974894) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.718085418696759 × 6371000     		du = 219.276021166777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76971451)-sin(-0.76974894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71810938000103-0.718085418696759)×R²
    abs(0.65553710-0.65548917)×2.39613042709585e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39613042709585e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39613042709585e-05×40589641000000     		ar = 48099.7717828819m²