Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 792 / 823
↖ ↑ ↗
← N 33.284620°
W 40.781250°		 ← 16.340 km → N 33.284620°
W 40.605469°		 →
↑
16.353 km
↓
↑
16.353 km
↓
N 33.137551°
W 40.781250°		 ← 16.367 km →
267.432 km²		 N 33.137551°
W 40.605469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386962890625 y=0.402099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386962890625 × 211)
    floor (0.386962890625 × 2048)
    floor (792.5)     		tx = 792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402099609375 × 211)
    floor (0.402099609375 × 2048)
    floor (823.5)     		ty = 823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 792 / 823 ti = "11/792/823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/792/823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 792 ÷ 211
    792 ÷ 2048     		x = 0.38671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 823 ÷ 211
    823 ÷ 2048     		y = 0.40185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38671875 × 2 - 1) × π
    -0.2265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71176709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40185546875 × 2 - 1) × π
    0.1962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.616660276712402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71176709} λ = -0.71176709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.616660276712402))-π/2
    2×atan(1.85273009205451)-π/2
    2×1.07586126775615-π/2
    2.15172253551231-1.57079632675     		φ = 0.58092621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71176709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58092621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.284620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 792 KachelY 823 -0.71176709 0.58092621 -40.781250 33.284620
    Oben rechts KachelX + 1 793 KachelY 823 -0.70869912 0.58092621 -40.605469 33.284620
    Unten links KachelX 792 KachelY + 1 824 -0.71176709 0.57835937 -40.781250 33.137551
    Unten rechts KachelX + 1 793 KachelY + 1 824 -0.70869912 0.57835937 -40.605469 33.137551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58092621-0.57835937) × R
    0.00256683999999996 × 6371000     		dl = 16353.3376399997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58092621-0.57835937) × R
    0.00256683999999996 × 6371000     		dr = 16353.3376399997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71176709--0.70869912) × cos(0.58092621) × R
    0.00306797000000003 × 0.835954705951289 × 6371000     		do = 16339.6015041741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71176709--0.70869912) × cos(0.57835937) × R
    0.00306797000000003 × 0.837360628284139 × 6371000     		du = 16367.0817139283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58092621)-sin(0.57835937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835954705951289-0.837360628284139)×R²
    abs(-0.70869912--0.71176709)×0.00140592233284997×R²
    0.00306797000000003×0.00140592233284997×6371000²
    0.00306797000000003×0.00140592233284997×40589641000000     		ar = 267431863.710057m²