Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 792 / 765
↖ ↑ ↗
← S 66.089364°
E 98.437500°		 ← 15.844 km → S 66.089364°
E 98.789063°		 →
↑
15.800 km
↓
↑
15.800 km
↓
S 66.231457°
E 98.437500°		 ← 15.756 km →
249.642 km²		 S 66.231457°
E 98.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77392578125 y=0.74755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77392578125 × 210)
    floor (0.77392578125 × 1024)
    floor (792.5)     		tx = 792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74755859375 × 210)
    floor (0.74755859375 × 1024)
    floor (765.5)     		ty = 765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 792 / 765 ti = "10/792/765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/792/765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 792 ÷ 210
    792 ÷ 1024     		x = 0.7734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 765 ÷ 210
    765 ÷ 1024     		y = 0.7470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7734375 × 2 - 1) × π
    0.546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71805848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7470703125 × 2 - 1) × π
    -0.494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5523885572959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71805848} λ = 1.71805848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5523885572959))-π/2
    2×atan(0.211741612357751)-π/2
    2×0.208659659871632-π/2
    0.417319319743264-1.57079632675     		φ = -1.15347701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71805848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15347701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.089364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 792 KachelY 765 1.71805848 -1.15347701 98.437500 -66.089364
    Oben rechts KachelX + 1 793 KachelY 765 1.72419441 -1.15347701 98.789063 -66.089364
    Unten links KachelX 792 KachelY + 1 766 1.71805848 -1.15595700 98.437500 -66.231457
    Unten rechts KachelX + 1 793 KachelY + 1 766 1.72419441 -1.15595700 98.789063 -66.231457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15347701--1.15595700) × R
    0.00247998999999988 × 6371000     		dl = 15800.0162899992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15347701--1.15595700) × R
    0.00247998999999988 × 6371000     		dr = 15800.0162899992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71805848-1.72419441) × cos(-1.15347701) × R
    0.0061359299999999 × 0.405311288708903 × 6371000     		do = 15844.4329634804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71805848-1.72419441) × cos(-1.15595700) × R
    0.0061359299999999 × 0.403042890509652 × 6371000     		du = 15755.7567183232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15347701)-sin(-1.15595700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405311288708903-0.403042890509652)×R²
    abs(1.72419441-1.71805848)×0.00226839819925118×R²
    0.0061359299999999×0.00226839819925118×6371000²
    0.0061359299999999×0.00226839819925118×40589641000000     		ar = 249641883.818562m²