Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79191 / 83489
↖ ↑ ↗
← S 44.152652°
E 37.504577°		 ← 219.14 m → S 44.152652°
E 37.507324°		 →
↑
219.10 m
↓
↑
219.10 m
↓
S 44.154622°
E 37.504577°		 ← 219.13 m →
48 012 m²		 S 44.154622°
E 37.507324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604183197021484 y=0.636974334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604183197021484 × 217)
    floor (0.604183197021484 × 131072)
    floor (79191.5)     		tx = 79191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636974334716797 × 217)
    floor (0.636974334716797 × 131072)
    floor (83489.5)     		ty = 83489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79191 / 83489 ti = "17/79191/83489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79191/83489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79191 ÷ 217
    79191 ÷ 131072     		x = 0.604179382324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83489 ÷ 217
    83489 ÷ 131072     		y = 0.636970520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604179382324219 × 2 - 1) × π
    0.208358764648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.65457836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636970520019531 × 2 - 1) × π
    -0.273941040039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.860611158878868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65457836} λ = 0.65457836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860611158878868))-π/2
    2×atan(0.422903542066572)-π/2
    2×0.400093589462096-π/2
    0.800187178924191-1.57079632675     		φ = -0.77060915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65457836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.504577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77060915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.152652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79191 KachelY 83489 0.65457836 -0.77060915 37.504577 -44.152652
    Oben rechts KachelX + 1 79192 KachelY 83489 0.65462630 -0.77060915 37.507324 -44.152652
    Unten links KachelX 79191 KachelY + 1 83490 0.65457836 -0.77064354 37.504577 -44.154622
    Unten rechts KachelX + 1 79192 KachelY + 1 83490 0.65462630 -0.77064354 37.507324 -44.154622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77060915--0.77064354) × R
    3.43900000000508e-05 × 6371000     		dl = 219.098690000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77060915--0.77064354) × R
    3.43900000000508e-05 × 6371000     		dr = 219.098690000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65457836-0.65462630) × cos(-0.77060915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.71748648566126 × 6371000     		do = 219.138840822946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65457836-0.65462630) × cos(-0.77064354) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.717462530111302 × 6371000     		du = 219.131524181373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77060915)-sin(-0.77064354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71748648566126-0.717462530111302)×R²
    abs(0.65462630-0.65457836)×2.39555499573774e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39555499573774e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39555499573774e-05×40589641000000     		ar = 48012.2314240274m²