Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79190 / 83470
↖ ↑ ↗
← S 44.115198°
E 37.501831°		 ← 219.23 m → S 44.115198°
E 37.504577°		 →
↑
219.29 m
↓
↑
219.29 m
↓
S 44.117170°
E 37.501831°		 ← 219.22 m →
48 075 m²		 S 44.117170°
E 37.504577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604175567626953 y=0.636829376220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604175567626953 × 217)
    floor (0.604175567626953 × 131072)
    floor (79190.5)     		tx = 79190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636829376220703 × 217)
    floor (0.636829376220703 × 131072)
    floor (83470.5)     		ty = 83470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79190 / 83470 ti = "17/79190/83470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79190/83470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79190 ÷ 217
    79190 ÷ 131072     		x = 0.604171752929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83470 ÷ 217
    83470 ÷ 131072     		y = 0.636825561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604171752929688 × 2 - 1) × π
    0.208343505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.65453043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636825561523438 × 2 - 1) × π
    -0.273651123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.859700357786087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65453043} λ = 0.65453043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859700357786087))-π/2
    2×atan(0.423288898539736)-π/2
    2×0.400420436848491-π/2
    0.800840873696982-1.57079632675     		φ = -0.76995545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65453043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.501831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76995545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.115198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79190 KachelY 83470 0.65453043 -0.76995545 37.501831 -44.115198
    Oben rechts KachelX + 1 79191 KachelY 83470 0.65457836 -0.76995545 37.504577 -44.115198
    Unten links KachelX 79190 KachelY + 1 83471 0.65453043 -0.76998987 37.501831 -44.117170
    Unten rechts KachelX + 1 79191 KachelY + 1 83471 0.65457836 -0.76998987 37.504577 -44.117170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76995545--0.76998987) × R
    3.44199999999795e-05 × 6371000     		dl = 219.289819999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76995545--0.76998987) × R
    3.44199999999795e-05 × 6371000     		dr = 219.289819999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65453043-0.65457836) × cos(-0.76995545) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.717941681723394 × 6371000     		do = 219.232129352804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65453043-0.65457836) × cos(-0.76998987) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.717917721424076 × 6371000     		du = 219.224812787164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76995545)-sin(-0.76998987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717941681723394-0.717917721424076)×R²
    abs(0.65457836-0.65453043)×2.3960299318726e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3960299318726e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3960299318726e-05×40589641000000     		ar = 48074.5719644181m²