Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79186 / 83502
↖ ↑ ↗
← S 44.178264°
E 37.490845°		 ← 219.04 m → S 44.178264°
E 37.493591°		 →
↑
219.03 m
↓
↑
219.03 m
↓
S 44.180234°
E 37.490845°		 ← 219.04 m →
47 977 m²		 S 44.180234°
E 37.493591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604145050048828 y=0.637073516845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604145050048828 × 217)
    floor (0.604145050048828 × 131072)
    floor (79186.5)     		tx = 79186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637073516845703 × 217)
    floor (0.637073516845703 × 131072)
    floor (83502.5)     		ty = 83502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79186 / 83502 ti = "17/79186/83502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79186/83502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79186 ÷ 217
    79186 ÷ 131072     		x = 0.604141235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83502 ÷ 217
    83502 ÷ 131072     		y = 0.637069702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604141235351562 × 2 - 1) × π
    0.208282470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65433868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637069702148438 × 2 - 1) × π
    -0.274139404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.861234338573929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65433868} λ = 0.65433868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861234338573929))-π/2
    2×atan(0.422640079267047)-π/2
    2×0.399870076480269-π/2
    0.799740152960539-1.57079632675     		φ = -0.77105617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65433868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.490845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77105617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.178264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79186 KachelY 83502 0.65433868 -0.77105617 37.490845 -44.178264
    Oben rechts KachelX + 1 79187 KachelY 83502 0.65438662 -0.77105617 37.493591 -44.178264
    Unten links KachelX 79186 KachelY + 1 83503 0.65433868 -0.77109055 37.490845 -44.180234
    Unten rechts KachelX + 1 79187 KachelY + 1 83503 0.65438662 -0.77109055 37.493591 -44.180234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77105617--0.77109055) × R
    3.43800000000005e-05 × 6371000     		dl = 219.034980000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77105617--0.77109055) × R
    3.43800000000005e-05 × 6371000     		dr = 219.034980000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65433868-0.65438662) × cos(-0.77105617) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.717175032179786 × 6371000     		do = 219.043714913399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65433868-0.65438662) × cos(-0.77109055) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.717151072571651 × 6371000     		du = 219.036397032354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77105617)-sin(-0.77109055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717175032179786-0.717151072571651)×R²
    abs(0.65438662-0.65433868)×2.3959608134505e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3959608134505e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3959608134505e-05×40589641000000     		ar = 47977.4342839117m²