Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79182 / 83522
↖ ↑ ↗
← S 44.217647°
E 37.479858°		 ← 218.90 m → S 44.217647°
E 37.482605°		 →
↑
218.84 m
↓
↑
218.84 m
↓
S 44.219615°
E 37.479858°		 ← 218.89 m →
47 904 m²		 S 44.219615°
E 37.482605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604114532470703 y=0.637226104736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604114532470703 × 217)
    floor (0.604114532470703 × 131072)
    floor (79182.5)     		tx = 79182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637226104736328 × 217)
    floor (0.637226104736328 × 131072)
    floor (83522.5)     		ty = 83522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79182 / 83522 ti = "17/79182/83522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79182/83522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79182 ÷ 217
    79182 ÷ 131072     		x = 0.604110717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83522 ÷ 217
    83522 ÷ 131072     		y = 0.637222290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604110717773438 × 2 - 1) × π
    0.208221435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.65414693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637222290039062 × 2 - 1) × π
    -0.274444580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.86219307656633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65414693} λ = 0.65414693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86219307656633))-π/2
    2×atan(0.422235072344727)-π/2
    2×0.39952639985782-π/2
    0.799052799715639-1.57079632675     		φ = -0.77174353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65414693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.479858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77174353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.217647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79182 KachelY 83522 0.65414693 -0.77174353 37.479858 -44.217647
    Oben rechts KachelX + 1 79183 KachelY 83522 0.65419487 -0.77174353 37.482605 -44.217647
    Unten links KachelX 79182 KachelY + 1 83523 0.65414693 -0.77177788 37.479858 -44.219615
    Unten rechts KachelX + 1 79183 KachelY + 1 83523 0.65419487 -0.77177788 37.482605 -44.219615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77174353--0.77177788) × R
    3.43500000000718e-05 × 6371000     		dl = 218.843850000458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77174353--0.77177788) × R
    3.43500000000718e-05 × 6371000     		dr = 218.843850000458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65414693-0.65419487) × cos(-0.77174353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.716695846366357 × 6371000     		do = 218.897359231227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65414693-0.65419487) × cos(-0.77177788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.716671890738606 × 6371000     		du = 218.890042565894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77174353)-sin(-0.77177788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716695846366357-0.716671890738606)×R²
    abs(0.65419487-0.65414693)×2.39556277512598e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39556277512598e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39556277512598e-05×40589641000000     		ar = 47903.5402502468m²