Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79180 / 83516
↖ ↑ ↗
← S 44.205835°
E 37.474365°		 ← 218.94 m → S 44.205835°
E 37.477112°		 →
↑
218.91 m
↓
↑
218.91 m
↓
S 44.207804°
E 37.474365°		 ← 218.93 m →
47 927 m²		 S 44.207804°
E 37.477112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604099273681641 y=0.637180328369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604099273681641 × 217)
    floor (0.604099273681641 × 131072)
    floor (79180.5)     		tx = 79180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637180328369141 × 217)
    floor (0.637180328369141 × 131072)
    floor (83516.5)     		ty = 83516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79180 / 83516 ti = "17/79180/83516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79180/83516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79180 ÷ 217
    79180 ÷ 131072     		x = 0.604095458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83516 ÷ 217
    83516 ÷ 131072     		y = 0.637176513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604095458984375 × 2 - 1) × π
    0.20819091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.65405106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637176513671875 × 2 - 1) × π
    -0.27435302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.86190545516861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65405106} λ = 0.65405106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86190545516861))-π/2
    2×atan(0.422356533653)-π/2
    2×0.399629478725513-π/2
    0.799258957451025-1.57079632675     		φ = -0.77153737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65405106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.474365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77153737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.205835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79180 KachelY 83516 0.65405106 -0.77153737 37.474365 -44.205835
    Oben rechts KachelX + 1 79181 KachelY 83516 0.65409900 -0.77153737 37.477112 -44.205835
    Unten links KachelX 79180 KachelY + 1 83517 0.65405106 -0.77157173 37.474365 -44.207804
    Unten rechts KachelX + 1 79181 KachelY + 1 83517 0.65409900 -0.77157173 37.477112 -44.207804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77153737--0.77157173) × R
    3.4360000000011e-05 × 6371000     		dl = 218.90756000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77153737--0.77157173) × R
    3.4360000000011e-05 × 6371000     		dr = 218.90756000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65405106-0.65409900) × cos(-0.77153737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.716839604207606 × 6371000     		do = 218.941266576272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65405106-0.65409900) × cos(-0.77157173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.716815646683003 × 6371000     		du = 218.933949331591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77153737)-sin(-0.77157173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716839604207606-0.716815646683003)×R²
    abs(0.65409900-0.65405106)×2.39575246038237e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39575246038237e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39575246038237e-05×40589641000000     		ar = 47927.0975540238m²