Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79179 / 83521
↖ ↑ ↗
← S 44.215678°
E 37.471619°		 ← 218.90 m → S 44.215678°
E 37.474365°		 →
↑
218.91 m
↓
↑
218.91 m
↓
S 44.217647°
E 37.471619°		 ← 218.90 m →
47 919 m²		 S 44.217647°
E 37.474365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604091644287109 y=0.637218475341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604091644287109 × 217)
    floor (0.604091644287109 × 131072)
    floor (79179.5)     		tx = 79179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637218475341797 × 217)
    floor (0.637218475341797 × 131072)
    floor (83521.5)     		ty = 83521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79179 / 83521 ti = "17/79179/83521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79179/83521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79179 ÷ 217
    79179 ÷ 131072     		x = 0.604087829589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83521 ÷ 217
    83521 ÷ 131072     		y = 0.637214660644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604087829589844 × 2 - 1) × π
    0.208175659179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.65400312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637214660644531 × 2 - 1) × π
    -0.274429321289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.86214513966671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65400312} λ = 0.65400312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86214513966671))-π/2
    2×atan(0.422255313470151)-π/2
    2×0.399543578233427-π/2
    0.799087156466854-1.57079632675     		φ = -0.77170917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65400312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.471619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77170917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.215678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79179 KachelY 83521 0.65400312 -0.77170917 37.471619 -44.215678
    Oben rechts KachelX + 1 79180 KachelY 83521 0.65405106 -0.77170917 37.474365 -44.215678
    Unten links KachelX 79179 KachelY + 1 83522 0.65400312 -0.77174353 37.471619 -44.217647
    Unten rechts KachelX + 1 79180 KachelY + 1 83522 0.65405106 -0.77174353 37.474365 -44.217647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77170917--0.77174353) × R
    3.43599999999e-05 × 6371000     		dl = 218.907559999363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77170917--0.77174353) × R
    3.43599999999e-05 × 6371000     		dr = 218.907559999363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65400312-0.65405106) × cos(-0.77170917) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.716719808122075 × 6371000     		do = 218.904677768199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65400312-0.65405106) × cos(-0.77174353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.716695846366357 × 6371000     		du = 218.897359231227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77170917)-sin(-0.77174353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716719808122075-0.716695846366357)×R²
    abs(0.65405106-0.65400312)×2.39617557181715e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39617557181715e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39617557181715e-05×40589641000000     		ar = 47919.0878458259m²