Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79176 / 83912
↖ ↑ ↗
← S 44.980342°
E 37.463379°		 ← 216.04 m → S 44.980342°
E 37.466126°		 →
↑
216.04 m
↓
↑
216.04 m
↓
S 44.982285°
E 37.463379°		 ← 216.04 m →
46 673 m²		 S 44.982285°
E 37.466126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604068756103516 y=0.640201568603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604068756103516 × 217)
    floor (0.604068756103516 × 131072)
    floor (79176.5)     		tx = 79176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640201568603516 × 217)
    floor (0.640201568603516 × 131072)
    floor (83912.5)     		ty = 83912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79176 / 83912 ti = "17/79176/83912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79176/83912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79176 ÷ 217
    79176 ÷ 131072     		x = 0.60406494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83912 ÷ 217
    83912 ÷ 131072     		y = 0.64019775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60406494140625 × 2 - 1) × π
    0.2081298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65385931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64019775390625 × 2 - 1) × π
    -0.2803955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.880888467418152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65385931} λ = 0.65385931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880888467418152))-π/2
    2×atan(0.41441455423997)-π/2
    2×0.392870626796267-π/2
    0.785741253592533-1.57079632675     		φ = -0.78505507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65385931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.463379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78505507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.980342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79176 KachelY 83912 0.65385931 -0.78505507 37.463379 -44.980342
    Oben rechts KachelX + 1 79177 KachelY 83912 0.65390725 -0.78505507 37.466126 -44.980342
    Unten links KachelX 79176 KachelY + 1 83913 0.65385931 -0.78508898 37.463379 -44.982285
    Unten rechts KachelX + 1 79177 KachelY + 1 83913 0.65390725 -0.78508898 37.466126 -44.982285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78505507--0.78508898) × R
    3.39100000000814e-05 × 6371000     		dl = 216.040610000518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78505507--0.78508898) × R
    3.39100000000814e-05 × 6371000     		dr = 216.040610000518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65385931-0.65390725) × cos(-0.78505507) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.707349343231846 × 6371000     		do = 216.042696595459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65385931-0.65390725) × cos(-0.78508898) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.707325373062316 × 6371000     		du = 216.035375488692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78505507)-sin(-0.78508898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707349343231846-0.707325373062316)×R²
    abs(0.65390725-0.65385931)×2.3970169530374e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3970169530374e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3970169530374e-05×40589641000000     		ar = 46673.2051351093m²