Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79176 / 83513
↖ ↑ ↗
← S 44.199928°
E 37.463379°		 ← 218.96 m → S 44.199928°
E 37.466126°		 →
↑
218.97 m
↓
↑
218.97 m
↓
S 44.201897°
E 37.463379°		 ← 218.96 m →
47 946 m²		 S 44.201897°
E 37.466126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604068756103516 y=0.637157440185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604068756103516 × 217)
    floor (0.604068756103516 × 131072)
    floor (79176.5)     		tx = 79176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637157440185547 × 217)
    floor (0.637157440185547 × 131072)
    floor (83513.5)     		ty = 83513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79176 / 83513 ti = "17/79176/83513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79176/83513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79176 ÷ 217
    79176 ÷ 131072     		x = 0.60406494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83513 ÷ 217
    83513 ÷ 131072     		y = 0.637153625488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60406494140625 × 2 - 1) × π
    0.2081298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65385931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637153625488281 × 2 - 1) × π
    -0.274307250976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.861761644469749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65385931} λ = 0.65385931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861761644469749))-π/2
    2×atan(0.422417277408969)-π/2
    2×0.399681025911963-π/2
    0.799362051823926-1.57079632675     		φ = -0.77143427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65385931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.463379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77143427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.199928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79176 KachelY 83513 0.65385931 -0.77143427 37.463379 -44.199928
    Oben rechts KachelX + 1 79177 KachelY 83513 0.65390725 -0.77143427 37.466126 -44.199928
    Unten links KachelX 79176 KachelY + 1 83514 0.65385931 -0.77146864 37.463379 -44.201897
    Unten rechts KachelX + 1 79177 KachelY + 1 83514 0.65390725 -0.77146864 37.466126 -44.201897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77143427--0.77146864) × R
    3.43700000000613e-05 × 6371000     		dl = 218.971270000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77143427--0.77146864) × R
    3.43700000000613e-05 × 6371000     		dr = 218.971270000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65385931-0.65390725) × cos(-0.77143427) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.716911485646743 × 6371000     		do = 218.963221018519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65385931-0.65390725) × cos(-0.77146864) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.716887523689751 × 6371000     		du = 218.955902420073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77143427)-sin(-0.77146864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716911485646743-0.716887523689751)×R²
    abs(0.65390725-0.65385931)×2.39619569916139e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39619569916139e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39619569916139e-05×40589641000000     		ar = 47945.8533130721m²