Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7917 / 5353
↖ ↑ ↗
← S 48.253941°
E167.915039°		 ← 3 253.58 m → S 48.253941°
E167.958985°		 →
↑
3 252.65 m
↓
↑
3 252.65 m
↓
S 48.283193°
E167.915039°		 ← 3 251.71 m →
10 579 716 m²		 S 48.283193°
E167.958985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.96649169921875 y=0.65350341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.96649169921875 × 213)
    floor (0.96649169921875 × 8192)
    floor (7917.5)     		tx = 7917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65350341796875 × 213)
    floor (0.65350341796875 × 8192)
    floor (5353.5)     		ty = 5353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7917 / 5353 ti = "13/7917/5353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7917/5353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7917 ÷ 213
    7917 ÷ 8192     		x = 0.9664306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5353 ÷ 213
    5353 ÷ 8192     		y = 0.6534423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9664306640625 × 2 - 1) × π
    0.932861328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.93067030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6534423828125 × 2 - 1) × π
    -0.306884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.964106925158569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93067030} λ = 2.93067030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.964106925158569))-π/2
    2×atan(0.381323598228071)-π/2
    2×0.364303088387907-π/2
    0.728606176775814-1.57079632675     		φ = -0.84219015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93067030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 167.915039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84219015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.253941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7917 KachelY 5353 2.93067030 -0.84219015 167.915039 -48.253941
    Oben rechts KachelX + 1 7918 KachelY 5353 2.93143729 -0.84219015 167.958985 -48.253941
    Unten links KachelX 7917 KachelY + 1 5354 2.93067030 -0.84270069 167.915039 -48.283193
    Unten rechts KachelX + 1 7918 KachelY + 1 5354 2.93143729 -0.84270069 167.958985 -48.283193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84219015--0.84270069) × R
    0.000510540000000059 × 6371000     		dl = 3252.65034000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84219015--0.84270069) × R
    0.000510540000000059 × 6371000     		dr = 3252.65034000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93067030-2.93143729) × cos(-0.84219015) × R
    0.000766989999999801 × 0.665830346188068 × 6371000     		do = 3253.57551892552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93067030-2.93143729) × cos(-0.84270069) × R
    0.000766989999999801 × 0.665449343914145 × 6371000     		du = 3251.71375387053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84219015)-sin(-0.84270069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665830346188068-0.665449343914145)×R²
    abs(2.93143729-2.93067030)×0.000381002273922237×R²
    0.000766989999999801×0.000381002273922237×6371000²
    0.000766989999999801×0.000381002273922237×40589641000000     		ar = 10579715.9122816m²