Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79168 / 83906
↖ ↑ ↗
← S 44.968684°
E 37.441407°		 ← 216.04 m → S 44.968684°
E 37.444153°		 →
↑
216.10 m
↓
↑
216.10 m
↓
S 44.970628°
E 37.441407°		 ← 216.03 m →
46 687 m²		 S 44.970628°
E 37.444153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604007720947266 y=0.640155792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604007720947266 × 217)
    floor (0.604007720947266 × 131072)
    floor (79168.5)     		tx = 79168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640155792236328 × 217)
    floor (0.640155792236328 × 131072)
    floor (83906.5)     		ty = 83906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79168 / 83906 ti = "17/79168/83906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79168/83906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79168 ÷ 217
    79168 ÷ 131072     		x = 0.60400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83906 ÷ 217
    83906 ÷ 131072     		y = 0.640151977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60400390625 × 2 - 1) × π
    0.2080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65347582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640151977539062 × 2 - 1) × π
    -0.280303955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.880600846020432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65347582} λ = 0.65347582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880600846020432))-π/2
    2×atan(0.414533765876383)-π/2
    2×0.392972361540085-π/2
    0.785944723080169-1.57079632675     		φ = -0.78485160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65347582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.441407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78485160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.968684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79168 KachelY 83906 0.65347582 -0.78485160 37.441407 -44.968684
    Oben rechts KachelX + 1 79169 KachelY 83906 0.65352375 -0.78485160 37.444153 -44.968684
    Unten links KachelX 79168 KachelY + 1 83907 0.65347582 -0.78488552 37.441407 -44.970628
    Unten rechts KachelX + 1 79169 KachelY + 1 83907 0.65352375 -0.78488552 37.444153 -44.970628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78485160--0.78488552) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dl = 216.104320000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78485160--0.78488552) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dr = 216.104320000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65347582-0.65352375) × cos(-0.78485160) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.70749315423444 × 6371000     		do = 216.041545787764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65347582-0.65352375) × cos(-0.78488552) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.707469181878357 × 6371000     		du = 216.034225540446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78485160)-sin(-0.78488552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70749315423444-0.707469181878357)×R²
    abs(0.65352375-0.65347582)×2.39723560833127e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39723560833127e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39723560833127e-05×40589641000000     		ar = 46686.7203803235m²