Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79167 / 84242
↖ ↑ ↗
← S 45.617880°
E 37.438660°		 ← 213.63 m → S 45.617880°
E 37.441407°		 →
↑
213.62 m
↓
↑
213.62 m
↓
S 45.619801°
E 37.438660°		 ← 213.62 m →
45 634 m²		 S 45.619801°
E 37.441407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604000091552734 y=0.642719268798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604000091552734 × 217)
    floor (0.604000091552734 × 131072)
    floor (79167.5)     		tx = 79167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642719268798828 × 217)
    floor (0.642719268798828 × 131072)
    floor (84242.5)     		ty = 84242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79167 / 84242 ti = "17/79167/84242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79167/84242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79167 ÷ 217
    79167 ÷ 131072     		x = 0.603996276855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84242 ÷ 217
    84242 ÷ 131072     		y = 0.642715454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603996276855469 × 2 - 1) × π
    0.207992553710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.65342788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642715454101562 × 2 - 1) × π
    -0.285430908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.89670764429277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65342788} λ = 0.65342788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89670764429277))-π/2
    2×atan(0.407910437627972)-π/2
    2×0.387307064277951-π/2
    0.774614128555903-1.57079632675     		φ = -0.79618220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65342788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.438660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79618220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.617880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79167 KachelY 84242 0.65342788 -0.79618220 37.438660 -45.617880
    Oben rechts KachelX + 1 79168 KachelY 84242 0.65347582 -0.79618220 37.441407 -45.617880
    Unten links KachelX 79167 KachelY + 1 84243 0.65342788 -0.79621573 37.438660 -45.619801
    Unten rechts KachelX + 1 79168 KachelY + 1 84243 0.65347582 -0.79621573 37.441407 -45.619801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79618220--0.79621573) × R
    3.35300000000593e-05 × 6371000     		dl = 213.619630000378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79618220--0.79621573) × R
    3.35300000000593e-05 × 6371000     		dr = 213.619630000378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65342788-0.65347582) × cos(-0.79618220) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.699440347326033 × 6371000     		do = 213.627085668265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65342788-0.65347582) × cos(-0.79621573) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.699416383344216 × 6371000     		du = 213.619766451386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79618220)-sin(-0.79621573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699440347326033-0.699416383344216)×R²
    abs(0.65347582-0.65342788)×2.39639818170323e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39639818170323e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39639818170323e-05×40589641000000     		ar = 45634.1572386099m²