Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79164 / 83490
↖ ↑ ↗
← S 44.154622°
E 37.430420°		 ← 219.09 m → S 44.154622°
E 37.433166°		 →
↑
219.10 m
↓
↑
219.10 m
↓
S 44.156593°
E 37.430420°		 ← 219.08 m →
48 001 m²		 S 44.156593°
E 37.433166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603977203369141 y=0.636981964111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603977203369141 × 217)
    floor (0.603977203369141 × 131072)
    floor (79164.5)     		tx = 79164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636981964111328 × 217)
    floor (0.636981964111328 × 131072)
    floor (83490.5)     		ty = 83490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79164 / 83490 ti = "17/79164/83490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79164/83490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79164 ÷ 217
    79164 ÷ 131072     		x = 0.603973388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83490 ÷ 217
    83490 ÷ 131072     		y = 0.636978149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603973388671875 × 2 - 1) × π
    0.20794677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.65328407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636978149414062 × 2 - 1) × π
    -0.273956298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.860659095778488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65328407} λ = 0.65328407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860659095778488))-π/2
    2×atan(0.422883269867824)-π/2
    2×0.400076392710357-π/2
    0.800152785420714-1.57079632675     		φ = -0.77064354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65328407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.430420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77064354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.154622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79164 KachelY 83490 0.65328407 -0.77064354 37.430420 -44.154622
    Oben rechts KachelX + 1 79165 KachelY 83490 0.65333200 -0.77064354 37.433166 -44.154622
    Unten links KachelX 79164 KachelY + 1 83491 0.65328407 -0.77067793 37.430420 -44.156593
    Unten rechts KachelX + 1 79165 KachelY + 1 83491 0.65333200 -0.77067793 37.433166 -44.156593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77064354--0.77067793) × R
    3.43899999999397e-05 × 6371000     		dl = 219.098689999616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77064354--0.77067793) × R
    3.43899999999397e-05 × 6371000     		dr = 219.098689999616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65328407-0.65333200) × cos(-0.77064354) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.717462530111302 × 6371000     		do = 219.085814643858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65328407-0.65333200) × cos(-0.77067793) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.717438573712822 × 6371000     		du = 219.078499269386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77064354)-sin(-0.77067793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717462530111302-0.717438573712822)×R²
    abs(0.65333200-0.65328407)×2.39563984801849e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39563984801849e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39563984801849e-05×40589641000000     		ar = 48000.6135961725m²