Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79151 / 83935
↖ ↑ ↗
← S 45.025009°
E 37.394714°		 ← 215.87 m → S 45.025009°
E 37.397461°		 →
↑
215.85 m
↓
↑
215.85 m
↓
S 45.026951°
E 37.394714°		 ← 215.87 m →
46 596 m²		 S 45.026951°
E 37.397461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603878021240234 y=0.640377044677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603878021240234 × 217)
    floor (0.603878021240234 × 131072)
    floor (79151.5)     		tx = 79151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640377044677734 × 217)
    floor (0.640377044677734 × 131072)
    floor (83935.5)     		ty = 83935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79151 / 83935 ti = "17/79151/83935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79151/83935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79151 ÷ 217
    79151 ÷ 131072     		x = 0.603874206542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83935 ÷ 217
    83935 ÷ 131072     		y = 0.640373229980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603874206542969 × 2 - 1) × π
    0.207748413085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.65266089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640373229980469 × 2 - 1) × π
    -0.280746459960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.881991016109413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65266089} λ = 0.65266089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881991016109413))-π/2
    2×atan(0.413957893806994)-π/2
    2×0.392480835202882-π/2
    0.784961670405763-1.57079632675     		φ = -0.78583466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65266089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.394714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78583466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.025009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79151 KachelY 83935 0.65266089 -0.78583466 37.394714 -45.025009
    Oben rechts KachelX + 1 79152 KachelY 83935 0.65270883 -0.78583466 37.397461 -45.025009
    Unten links KachelX 79151 KachelY + 1 83936 0.65266089 -0.78586854 37.394714 -45.026951
    Unten rechts KachelX + 1 79152 KachelY + 1 83936 0.65270883 -0.78586854 37.397461 -45.026951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78583466--0.78586854) × R
    3.38799999999306e-05 × 6371000     		dl = 215.849479999558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78583466--0.78586854) × R
    3.38799999999306e-05 × 6371000     		dr = 215.849479999558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65266089-0.65270883) × cos(-0.78583466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706798064126446 × 6371000     		do = 215.874321766246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65266089-0.65270883) × cos(-0.78586854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706774096488284 × 6371000     		du = 215.867001432624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78583466)-sin(-0.78586854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706798064126446-0.706774096488284)×R²
    abs(0.65270883-0.65266089)×2.39676381621479e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39676381621479e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39676381621479e-05×40589641000000     		ar = 46595.5700578793m²