Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79150 / 83934
↖ ↑ ↗
← S 45.023068°
E 37.391968°		 ← 215.88 m → S 45.023068°
E 37.394714°		 →
↑
215.91 m
↓
↑
215.91 m
↓
S 45.025009°
E 37.391968°		 ← 215.87 m →
46 611 m²		 S 45.025009°
E 37.394714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603870391845703 y=0.640369415283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603870391845703 × 217)
    floor (0.603870391845703 × 131072)
    floor (79150.5)     		tx = 79150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640369415283203 × 217)
    floor (0.640369415283203 × 131072)
    floor (83934.5)     		ty = 83934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79150 / 83934 ti = "17/79150/83934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79150/83934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79150 ÷ 217
    79150 ÷ 131072     		x = 0.603866577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83934 ÷ 217
    83934 ÷ 131072     		y = 0.640365600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603866577148438 × 2 - 1) × π
    0.207733154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.65261295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640365600585938 × 2 - 1) × π
    -0.280731201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.881943079209793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65261295} λ = 0.65261295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881943079209793))-π/2
    2×atan(0.413977738140631)-π/2
    2×0.392497776344112-π/2
    0.784995552688224-1.57079632675     		φ = -0.78580077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65261295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.391968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78580077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.023068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79150 KachelY 83934 0.65261295 -0.78580077 37.391968 -45.023068
    Oben rechts KachelX + 1 79151 KachelY 83934 0.65266089 -0.78580077 37.394714 -45.023068
    Unten links KachelX 79150 KachelY + 1 83935 0.65261295 -0.78583466 37.391968 -45.025009
    Unten rechts KachelX + 1 79151 KachelY + 1 83935 0.65266089 -0.78583466 37.394714 -45.025009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78580077--0.78583466) × R
    3.38899999999809e-05 × 6371000     		dl = 215.913189999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78580077--0.78583466) × R
    3.38899999999809e-05 × 6371000     		dr = 215.913189999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65261295-0.65266089) × cos(-0.78580077) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.706822038027221 × 6371000     		do = 215.881644013131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65261295-0.65266089) × cos(-0.78583466) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.706798064126446 × 6371000     		du = 215.874321766746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78580077)-sin(-0.78583466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706822038027221-0.706798064126446)×R²
    abs(0.65266089-0.65261295)×2.39739007750206e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39739007750206e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39739007750206e-05×40589641000000     		ar = 46610.9039410453m²