Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79146 / 84279
↖ ↑ ↗
← S 45.688914°
E 37.380981°		 ← 213.36 m → S 45.688914°
E 37.383728°		 →
↑
213.36 m
↓
↑
213.36 m
↓
S 45.690833°
E 37.380981°		 ← 213.35 m →
45 522 m²		 S 45.690833°
E 37.383728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603839874267578 y=0.643001556396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603839874267578 × 217)
    floor (0.603839874267578 × 131072)
    floor (79146.5)     		tx = 79146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643001556396484 × 217)
    floor (0.643001556396484 × 131072)
    floor (84279.5)     		ty = 84279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79146 / 84279 ti = "17/79146/84279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79146/84279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79146 ÷ 217
    79146 ÷ 131072     		x = 0.603836059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84279 ÷ 217
    84279 ÷ 131072     		y = 0.642997741699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603836059570312 × 2 - 1) × π
    0.207672119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.65242120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642997741699219 × 2 - 1) × π
    -0.285995483398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.898481309578713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65242120} λ = 0.65242120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898481309578713))-π/2
    2×atan(0.407187582286193)-π/2
    2×0.386687170882411-π/2
    0.773374341764822-1.57079632675     		φ = -0.79742198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65242120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.380981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79742198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.688914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79146 KachelY 84279 0.65242120 -0.79742198 37.380981 -45.688914
    Oben rechts KachelX + 1 79147 KachelY 84279 0.65246914 -0.79742198 37.383728 -45.688914
    Unten links KachelX 79146 KachelY + 1 84280 0.65242120 -0.79745547 37.380981 -45.690833
    Unten rechts KachelX + 1 79147 KachelY + 1 84280 0.65246914 -0.79745547 37.383728 -45.690833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79742198--0.79745547) × R
    3.34900000000804e-05 × 6371000     		dl = 213.364790000512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79742198--0.79745547) × R
    3.34900000000804e-05 × 6371000     		dr = 213.364790000512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65242120-0.65246914) × cos(-0.79742198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6985537504278 × 6371000     		do = 213.356296154046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65242120-0.65246914) × cos(-0.79745547) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.698529786012533 × 6371000     		du = 213.34897680478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79742198)-sin(-0.79745547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6985537504278-0.698529786012533)×R²
    abs(0.65246914-0.65242120)×2.39644152665308e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39644152665308e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39644152665308e-05×40589641000000     		ar = 45521.9404826934m²