Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79145 / 84295
↖ ↑ ↗
← S 45.719604°
E 37.378235°		 ← 213.19 m → S 45.719604°
E 37.380981°		 →
↑
213.24 m
↓
↑
213.24 m
↓
S 45.721522°
E 37.378235°		 ← 213.19 m →
45 460 m²		 S 45.721522°
E 37.380981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603832244873047 y=0.643123626708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603832244873047 × 217)
    floor (0.603832244873047 × 131072)
    floor (79145.5)     		tx = 79145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643123626708984 × 217)
    floor (0.643123626708984 × 131072)
    floor (84295.5)     		ty = 84295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79145 / 84295 ti = "17/79145/84295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79145/84295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79145 ÷ 217
    79145 ÷ 131072     		x = 0.603828430175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84295 ÷ 217
    84295 ÷ 131072     		y = 0.643119812011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603828430175781 × 2 - 1) × π
    0.207656860351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.65237327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643119812011719 × 2 - 1) × π
    -0.286239624023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.899248299972633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65237327} λ = 0.65237327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899248299972633))-π/2
    2×atan(0.406875393060429)-π/2
    2×0.386419352388067-π/2
    0.772838704776134-1.57079632675     		φ = -0.79795762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65237327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.378235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79795762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.719604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79145 KachelY 84295 0.65237327 -0.79795762 37.378235 -45.719604
    Oben rechts KachelX + 1 79146 KachelY 84295 0.65242120 -0.79795762 37.380981 -45.719604
    Unten links KachelX 79145 KachelY + 1 84296 0.65237327 -0.79799109 37.378235 -45.721522
    Unten rechts KachelX + 1 79146 KachelY + 1 84296 0.65242120 -0.79799109 37.380981 -45.721522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79795762--0.79799109) × R
    3.34699999999799e-05 × 6371000     		dl = 213.237369999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79795762--0.79799109) × R
    3.34699999999799e-05 × 6371000     		dr = 213.237369999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65237327-0.65242120) × cos(-0.79795762) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.698170368970082 × 6371000     		do = 213.194721154684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65237327-0.65242120) × cos(-0.79799109) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.698146406346505 × 6371000     		du = 213.187403879304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79795762)-sin(-0.79799109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698170368970082-0.698146406346505)×R²
    abs(0.65242120-0.65237327)×2.39626235772894e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39626235772894e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39626235772894e-05×40589641000000     		ar = 45460.3014828492m²