Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79143 / 83924
↖ ↑ ↗
← S 45.003651°
E 37.372742°		 ← 215.95 m → S 45.003651°
E 37.375488°		 →
↑
215.91 m
↓
↑
215.91 m
↓
S 45.005593°
E 37.372742°		 ← 215.95 m →
46 627 m²		 S 45.005593°
E 37.375488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603816986083984 y=0.640293121337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603816986083984 × 217)
    floor (0.603816986083984 × 131072)
    floor (79143.5)     		tx = 79143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640293121337891 × 217)
    floor (0.640293121337891 × 131072)
    floor (83924.5)     		ty = 83924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79143 / 83924 ti = "17/79143/83924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79143/83924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79143 ÷ 217
    79143 ÷ 131072     		x = 0.603813171386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83924 ÷ 217
    83924 ÷ 131072     		y = 0.640289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603813171386719 × 2 - 1) × π
    0.207626342773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.65227739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640289306640625 × 2 - 1) × π
    -0.28057861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.881463710213593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65227739} λ = 0.65227739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881463710213593))-π/2
    2×atan(0.414176233805945)-π/2
    2×0.392667219353171-π/2
    0.785334438706341-1.57079632675     		φ = -0.78546189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65227739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.372742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78546189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.003651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79143 KachelY 83924 0.65227739 -0.78546189 37.372742 -45.003651
    Oben rechts KachelX + 1 79144 KachelY 83924 0.65232533 -0.78546189 37.375488 -45.003651
    Unten links KachelX 79143 KachelY + 1 83925 0.65227739 -0.78549578 37.372742 -45.005593
    Unten rechts KachelX + 1 79144 KachelY + 1 83925 0.65232533 -0.78549578 37.375488 -45.005593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78546189--0.78549578) × R
    3.38899999999809e-05 × 6371000     		dl = 215.913189999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78546189--0.78549578) × R
    3.38899999999809e-05 × 6371000     		dr = 215.913189999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65227739-0.65232533) × cos(-0.78546189) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.707061718237963 × 6371000     		do = 215.95484851886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65227739-0.65232533) × cos(-0.78549578) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.707037752456026 × 6371000     		du = 215.947528752177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78546189)-sin(-0.78549578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707061718237963-0.707037752456026)×R²
    abs(0.65232533-0.65227739)×2.39657819373074e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39657819373074e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39657819373074e-05×40589641000000     		ar = 46626.7100270853m²