Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79141 / 84275
↖ ↑ ↗
← S 45.681239°
E 37.367249°		 ← 213.39 m → S 45.681239°
E 37.369995°		 →
↑
213.36 m
↓
↑
213.36 m
↓
S 45.683158°
E 37.367249°		 ← 213.38 m →
45 528 m²		 S 45.683158°
E 37.369995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603801727294922 y=0.642971038818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603801727294922 × 217)
    floor (0.603801727294922 × 131072)
    floor (79141.5)     		tx = 79141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642971038818359 × 217)
    floor (0.642971038818359 × 131072)
    floor (84275.5)     		ty = 84275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79141 / 84275 ti = "17/79141/84275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79141/84275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79141 ÷ 217
    79141 ÷ 131072     		x = 0.603797912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84275 ÷ 217
    84275 ÷ 131072     		y = 0.642967224121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603797912597656 × 2 - 1) × π
    0.207595825195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.65218152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642967224121094 × 2 - 1) × π
    -0.285934448242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.898289561980232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65218152} λ = 0.65218152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898289561980232))-π/2
    2×atan(0.407265667013268)-π/2
    2×0.386754148478667-π/2
    0.773508296957333-1.57079632675     		φ = -0.79728803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65218152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.367249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79728803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.681239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79141 KachelY 84275 0.65218152 -0.79728803 37.367249 -45.681239
    Oben rechts KachelX + 1 79142 KachelY 84275 0.65222946 -0.79728803 37.369995 -45.681239
    Unten links KachelX 79141 KachelY + 1 84276 0.65218152 -0.79732152 37.367249 -45.683158
    Unten rechts KachelX + 1 79142 KachelY + 1 84276 0.65222946 -0.79732152 37.369995 -45.683158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79728803--0.79732152) × R
    3.34899999999694e-05 × 6371000     		dl = 213.364789999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79728803--0.79732152) × R
    3.34899999999694e-05 × 6371000     		dr = 213.364789999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65218152-0.65222946) × cos(-0.79728803) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.698649593099117 × 6371000     		do = 213.385568973351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65218152-0.65222946) × cos(-0.79732152) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.698625631817714 × 6371000     		du = 213.378250581247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79728803)-sin(-0.79732152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698649593099117-0.698625631817714)×R²
    abs(0.65222946-0.65218152)×2.39612814032508e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39612814032508e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39612814032508e-05×40589641000000     		ar = 45528.1863734928m²