Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79132 / 84340
↖ ↑ ↗
← S 45.805828°
E 37.342529°		 ← 212.87 m → S 45.805828°
E 37.345276°		 →
↑
212.92 m
↓
↑
212.92 m
↓
S 45.807743°
E 37.342529°		 ← 212.86 m →
45 322 m²		 S 45.807743°
E 37.345276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603733062744141 y=0.643466949462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603733062744141 × 217)
    floor (0.603733062744141 × 131072)
    floor (79132.5)     		tx = 79132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643466949462891 × 217)
    floor (0.643466949462891 × 131072)
    floor (84340.5)     		ty = 84340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79132 / 84340 ti = "17/79132/84340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79132/84340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79132 ÷ 217
    79132 ÷ 131072     		x = 0.603729248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84340 ÷ 217
    84340 ÷ 131072     		y = 0.643463134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603729248046875 × 2 - 1) × π
    0.20745849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.65175009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.28692626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.901405460455536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65175009} λ = 0.65175009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901405460455536))-π/2
    2×atan(0.405998643525763)-π/2
    2×0.38566690109356-π/2
    0.77133380218712-1.57079632675     		φ = -0.79946252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65175009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.342529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79946252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.805828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79132 KachelY 84340 0.65175009 -0.79946252 37.342529 -45.805828
    Oben rechts KachelX + 1 79133 KachelY 84340 0.65179802 -0.79946252 37.345276 -45.805828
    Unten links KachelX 79132 KachelY + 1 84341 0.65175009 -0.79949594 37.342529 -45.807743
    Unten rechts KachelX + 1 79133 KachelY + 1 84341 0.65179802 -0.79949594 37.345276 -45.807743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79946252--0.79949594) × R
    3.34200000000617e-05 × 6371000     		dl = 212.918820000393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79946252--0.79949594) × R
    3.34200000000617e-05 × 6371000     		dr = 212.918820000393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65175009-0.65179802) × cos(-0.79946252) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.697092173246369 × 6371000     		do = 212.865481119753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65175009-0.65179802) × cos(-0.79949594) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.697068211334639 × 6371000     		du = 212.858164061745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79946252)-sin(-0.79949594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697092173246369-0.697068211334639)×R²
    abs(0.65179802-0.65175009)×2.39619117299306e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39619117299306e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39619117299306e-05×40589641000000     		ar = 45322.2880935079m²