Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79132 / 83932
↖ ↑ ↗
← S 45.019185°
E 37.342529°		 ← 215.85 m → S 45.019185°
E 37.345276°		 →
↑
215.85 m
↓
↑
215.85 m
↓
S 45.021126°
E 37.342529°		 ← 215.84 m →
46 591 m²		 S 45.021126°
E 37.345276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603733062744141 y=0.640354156494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603733062744141 × 217)
    floor (0.603733062744141 × 131072)
    floor (79132.5)     		tx = 79132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640354156494141 × 217)
    floor (0.640354156494141 × 131072)
    floor (83932.5)     		ty = 83932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79132 / 83932 ti = "17/79132/83932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79132/83932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79132 ÷ 217
    79132 ÷ 131072     		x = 0.603729248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83932 ÷ 217
    83932 ÷ 131072     		y = 0.640350341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603729248046875 × 2 - 1) × π
    0.20745849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.65175009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640350341796875 × 2 - 1) × π
    -0.28070068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.881847205410553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65175009} λ = 0.65175009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881847205410553))-π/2
    2×atan(0.414017429661845)-π/2
    2×0.392531660350032-π/2
    0.785063320700063-1.57079632675     		φ = -0.78573301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65175009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.342529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78573301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.019185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79132 KachelY 83932 0.65175009 -0.78573301 37.342529 -45.019185
    Oben rechts KachelX + 1 79133 KachelY 83932 0.65179802 -0.78573301 37.345276 -45.019185
    Unten links KachelX 79132 KachelY + 1 83933 0.65175009 -0.78576689 37.342529 -45.021126
    Unten rechts KachelX + 1 79133 KachelY + 1 83933 0.65179802 -0.78576689 37.345276 -45.021126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78573301--0.78576689) × R
    3.38800000000417e-05 × 6371000     		dl = 215.849480000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78573301--0.78576689) × R
    3.38800000000417e-05 × 6371000     		dr = 215.849480000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65175009-0.65179802) × cos(-0.78573301) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.70686996924645 × 6371000     		do = 215.851248755266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65175009-0.65179802) × cos(-0.78576689) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.706846004042514 × 6371000     		du = 215.843930691942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78573301)-sin(-0.78576689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70686996924645-0.706846004042514)×R²
    abs(0.65179802-0.65175009)×2.3965203936438e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3965203936438e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3965203936438e-05×40589641000000     		ar = 46590.5900054686m²