Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79130 / 84265
↖ ↑ ↗
← S 45.662047°
E 37.337036°		 ← 213.46 m → S 45.662047°
E 37.339783°		 →
↑
213.43 m
↓
↑
213.43 m
↓
S 45.663966°
E 37.337036°		 ← 213.45 m →
45 557 m²		 S 45.663966°
E 37.339783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603717803955078 y=0.642894744873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603717803955078 × 217)
    floor (0.603717803955078 × 131072)
    floor (79130.5)     		tx = 79130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642894744873047 × 217)
    floor (0.642894744873047 × 131072)
    floor (84265.5)     		ty = 84265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79130 / 84265 ti = "17/79130/84265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79130/84265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79130 ÷ 217
    79130 ÷ 131072     		x = 0.603713989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84265 ÷ 217
    84265 ÷ 131072     		y = 0.642890930175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603713989257812 × 2 - 1) × π
    0.207427978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.65165421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642890930175781 × 2 - 1) × π
    -0.285781860351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.897810192984032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65165421} λ = 0.65165421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.897810192984032))-π/2
    2×atan(0.407460944348461)-π/2
    2×0.386921632672124-π/2
    0.773843265344248-1.57079632675     		φ = -0.79695306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65165421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.337036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79695306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.662047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79130 KachelY 84265 0.65165421 -0.79695306 37.337036 -45.662047
    Oben rechts KachelX + 1 79131 KachelY 84265 0.65170215 -0.79695306 37.339783 -45.662047
    Unten links KachelX 79130 KachelY + 1 84266 0.65165421 -0.79698656 37.337036 -45.663966
    Unten rechts KachelX + 1 79131 KachelY + 1 84266 0.65170215 -0.79698656 37.339783 -45.663966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79695306--0.79698656) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dl = 213.428500000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79695306--0.79698656) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dr = 213.428500000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65165421-0.65170215) × cos(-0.79695306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.698889212877282 × 6371000     		do = 213.458755020921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65165421-0.65170215) × cos(-0.79698656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.698865252282107 × 6371000     		du = 213.451436838409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79695306)-sin(-0.79698656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698889212877282-0.698865252282107)×R²
    abs(0.65170215-0.65165421)×2.39605951743993e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39605951743993e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39605951743993e-05×40589641000000     		ar = 45557.4009459488m²