Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79128 / 83929
↖ ↑ ↗
← S 45.013361°
E 37.331543°		 ← 215.92 m → S 45.013361°
E 37.334290°		 →
↑
215.85 m
↓
↑
215.85 m
↓
S 45.015302°
E 37.331543°		 ← 215.91 m →
46 605 m²		 S 45.015302°
E 37.334290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603702545166016 y=0.640331268310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603702545166016 × 217)
    floor (0.603702545166016 × 131072)
    floor (79128.5)     		tx = 79128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640331268310547 × 217)
    floor (0.640331268310547 × 131072)
    floor (83929.5)     		ty = 83929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79128 / 83929 ti = "17/79128/83929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79128/83929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79128 ÷ 217
    79128 ÷ 131072     		x = 0.60369873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83929 ÷ 217
    83929 ÷ 131072     		y = 0.640327453613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60369873046875 × 2 - 1) × π
    0.2073974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.65155834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640327453613281 × 2 - 1) × π
    -0.280654907226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.881703394711693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65155834} λ = 0.65155834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881703394711693))-π/2
    2×atan(0.414076974079205)-π/2
    2×0.39258249066756-π/2
    0.78516498133512-1.57079632675     		φ = -0.78563135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65155834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.331543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78563135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.013361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79128 KachelY 83929 0.65155834 -0.78563135 37.331543 -45.013361
    Oben rechts KachelX + 1 79129 KachelY 83929 0.65160628 -0.78563135 37.334290 -45.013361
    Unten links KachelX 79128 KachelY + 1 83930 0.65155834 -0.78566523 37.331543 -45.015302
    Unten rechts KachelX + 1 79129 KachelY + 1 83930 0.65160628 -0.78566523 37.334290 -45.015302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78563135--0.78566523) × R
    3.38800000000417e-05 × 6371000     		dl = 215.849480000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78563135--0.78566523) × R
    3.38800000000417e-05 × 6371000     		dr = 215.849480000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65155834-0.65160628) × cos(-0.78563135) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.70694187413528 × 6371000     		do = 215.918245044613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65155834-0.65160628) × cos(-0.78566523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706917911366056 × 6371000     		du = 215.910926198091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78563135)-sin(-0.78566523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70694187413528-0.706917911366056)×R²
    abs(0.65160628-0.65155834)×2.39627692234512e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39627692234512e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39627692234512e-05×40589641000000     		ar = 46605.0510352532m²