Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79120 / 84208
↖ ↑ ↗
← S 45.552525°
E 37.309570°		 ← 213.88 m → S 45.552525°
E 37.312317°		 →
↑
213.87 m
↓
↑
213.87 m
↓
S 45.554449°
E 37.309570°		 ← 213.87 m →
45 742 m²		 S 45.554449°
E 37.312317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603641510009766 y=0.642459869384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603641510009766 × 217)
    floor (0.603641510009766 × 131072)
    floor (79120.5)     		tx = 79120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642459869384766 × 217)
    floor (0.642459869384766 × 131072)
    floor (84208.5)     		ty = 84208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79120 / 84208 ti = "17/79120/84208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79120/84208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79120 ÷ 217
    79120 ÷ 131072     		x = 0.6036376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84208 ÷ 217
    84208 ÷ 131072     		y = 0.6424560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6036376953125 × 2 - 1) × π
    0.207275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.65117484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6424560546875 × 2 - 1) × π
    -0.284912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.895077789705689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65117484} λ = 0.65117484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895077789705689))-π/2
    2×atan(0.408575814412267)-π/2
    2×0.387877389289534-π/2
    0.775754778579069-1.57079632675     		φ = -0.79504155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65117484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.309570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79504155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.552525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79120 KachelY 84208 0.65117484 -0.79504155 37.309570 -45.552525
    Oben rechts KachelX + 1 79121 KachelY 84208 0.65122278 -0.79504155 37.312317 -45.552525
    Unten links KachelX 79120 KachelY + 1 84209 0.65117484 -0.79507512 37.309570 -45.554449
    Unten rechts KachelX + 1 79121 KachelY + 1 84209 0.65122278 -0.79507512 37.312317 -45.554449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79504155--0.79507512) × R
    3.35700000000383e-05 × 6371000     		dl = 213.874470000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79504155--0.79507512) × R
    3.35700000000383e-05 × 6371000     		dr = 213.874470000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65117484-0.65122278) × cos(-0.79504155) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.700255104403776 × 6371000     		do = 213.87593345116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65117484-0.65122278) × cos(-0.79507512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.700231138631229 × 6371000     		du = 213.868613687345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79504155)-sin(-0.79507512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700255104403776-0.700231138631229)×R²
    abs(0.65122278-0.65117484)×2.39657725475961e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39657725475961e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39657725475961e-05×40589641000000     		ar = 45741.8191617256m²