Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7912 / 9592
↖ ↑ ↗
← S 29.382175°
W  6.152344°		 ← 2 128.99 m → S 29.382175°
W  6.130371°		 →
↑
2 128.74 m
↓
↑
2 128.74 m
↓
S 29.401320°
W  6.152344°		 ← 2 128.59 m →
4 531 647 m²		 S 29.401320°
W  6.130371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482940673828125 y=0.585479736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482940673828125 × 214)
    floor (0.482940673828125 × 16384)
    floor (7912.5)     		tx = 7912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585479736328125 × 214)
    floor (0.585479736328125 × 16384)
    floor (9592.5)     		ty = 9592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7912 / 9592 ti = "14/7912/9592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7912/9592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7912 ÷ 214
    7912 ÷ 16384     		x = 0.48291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9592 ÷ 214
    9592 ÷ 16384     		y = 0.58544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48291015625 × 2 - 1) × π
    -0.0341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10737866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58544921875 × 2 - 1) × π
    -0.1708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.536893275744629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10737866} λ = -0.10737866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536893275744629))-π/2
    2×atan(0.584561505685016)-π/2
    2×0.528990315174785-π/2
    1.05798063034957-1.57079632675     		φ = -0.51281570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10737866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.152344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51281570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.382175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7912 KachelY 9592 -0.10737866 -0.51281570 -6.152344 -29.382175
    Oben rechts KachelX + 1 7913 KachelY 9592 -0.10699516 -0.51281570 -6.130371 -29.382175
    Unten links KachelX 7912 KachelY + 1 9593 -0.10737866 -0.51314983 -6.152344 -29.401320
    Unten rechts KachelX + 1 7913 KachelY + 1 9593 -0.10699516 -0.51314983 -6.130371 -29.401320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51281570--0.51314983) × R
    0.000334130000000044 × 6371000     		dl = 2128.74223000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51281570--0.51314983) × R
    0.000334130000000044 × 6371000     		dr = 2128.74223000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10737866--0.10699516) × cos(-0.51281570) × R
    0.000383499999999995 × 0.871366489158399 × 6371000     		do = 2128.99100858117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10737866--0.10699516) × cos(-0.51314983) × R
    0.000383499999999995 × 0.87120250541809 × 6371000     		du = 2128.59035063412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51281570)-sin(-0.51314983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871366489158399-0.87120250541809)×R²
    abs(-0.10699516--0.10737866)×0.000163983740309126×R²
    0.000383499999999995×0.000163983740309126×6371000²
    0.000383499999999995×0.000163983740309126×40589641000000     		ar = 4531646.6606718m²