Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7912 / 4875
↖ ↑ ↗
← N 58.688359°
W  6.152344°		 ← 1 269.75 m → N 58.688359°
W  6.130371°		 →
↑
1 269.93 m
↓
↑
1 269.93 m
↓
N 58.676938°
W  6.152344°		 ← 1 270.17 m →
1 612 765 m²		 N 58.676938°
W  6.130371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482940673828125 y=0.297576904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482940673828125 × 214)
    floor (0.482940673828125 × 16384)
    floor (7912.5)     		tx = 7912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297576904296875 × 214)
    floor (0.297576904296875 × 16384)
    floor (4875.5)     		ty = 4875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7912 / 4875 ti = "14/7912/4875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7912/4875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7912 ÷ 214
    7912 ÷ 16384     		x = 0.48291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4875 ÷ 214
    4875 ÷ 16384     		y = 0.29754638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48291015625 × 2 - 1) × π
    -0.0341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10737866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29754638671875 × 2 - 1) × π
    0.4049072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27205356831781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10737866} λ = -0.10737866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27205356831781))-π/2
    2×atan(3.56817252981615)-π/2
    2×1.29755070823016-π/2
    2.59510141646032-1.57079632675     		φ = 1.02430509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10737866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.152344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02430509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.688359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7912 KachelY 4875 -0.10737866 1.02430509 -6.152344 58.688359
    Oben rechts KachelX + 1 7913 KachelY 4875 -0.10699516 1.02430509 -6.130371 58.688359
    Unten links KachelX 7912 KachelY + 1 4876 -0.10737866 1.02410576 -6.152344 58.676938
    Unten rechts KachelX + 1 7913 KachelY + 1 4876 -0.10699516 1.02410576 -6.130371 58.676938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02430509-1.02410576) × R
    0.000199329999999831 × 6371000     		dl = 1269.93142999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02430509-1.02410576) × R
    0.000199329999999831 × 6371000     		dr = 1269.93142999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10737866--0.10699516) × cos(1.02430509) × R
    0.000383499999999995 × 0.519692710886577 × 6371000     		do = 1269.75402711587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10737866--0.10699516) × cos(1.02410576) × R
    0.000383499999999995 × 0.51986299879566 × 6371000     		du = 1270.17008790295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02430509)-sin(1.02410576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519692710886577-0.51986299879566)×R²
    abs(-0.10699516--0.10737866)×0.000170287909083466×R²
    0.000383499999999995×0.000170287909083466×6371000²
    0.000383499999999995×0.000170287909083466×40589641000000     		ar = 1612764.73707767m²