Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79118 / 84358
↖ ↑ ↗
← S 45.840281°
E 37.304077°		 ← 212.78 m → S 45.840281°
E 37.306824°		 →
↑
212.79 m
↓
↑
212.79 m
↓
S 45.842194°
E 37.304077°		 ← 212.77 m →
45 277 m²		 S 45.842194°
E 37.306824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603626251220703 y=0.643604278564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603626251220703 × 217)
    floor (0.603626251220703 × 131072)
    floor (79118.5)     		tx = 79118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643604278564453 × 217)
    floor (0.643604278564453 × 131072)
    floor (84358.5)     		ty = 84358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79118 / 84358 ti = "17/79118/84358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79118/84358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79118 ÷ 217
    79118 ÷ 131072     		x = 0.603622436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84358 ÷ 217
    84358 ÷ 131072     		y = 0.643600463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603622436523438 × 2 - 1) × π
    0.207244873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.65107897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643600463867188 × 2 - 1) × π
    -0.287200927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.902268324648697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65107897} λ = 0.65107897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.902268324648697))-π/2
    2×atan(0.405648472930353)-π/2
    2×0.385366246186122-π/2
    0.770732492372244-1.57079632675     		φ = -0.80006383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65107897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.304077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80006383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.840281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79118 KachelY 84358 0.65107897 -0.80006383 37.304077 -45.840281
    Oben rechts KachelX + 1 79119 KachelY 84358 0.65112691 -0.80006383 37.306824 -45.840281
    Unten links KachelX 79118 KachelY + 1 84359 0.65107897 -0.80009723 37.304077 -45.842194
    Unten rechts KachelX + 1 79119 KachelY + 1 84359 0.65112691 -0.80009723 37.306824 -45.842194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80006383--0.80009723) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dl = 212.791399999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80006383--0.80009723) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dr = 212.791399999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65107897-0.65112691) × cos(-0.80006383) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.696660919088629 × 6371000     		do = 212.778176741585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65107897-0.65112691) × cos(-0.80009723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.696636957521338 × 6371000     		du = 212.770858262164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80006383)-sin(-0.80009723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696660919088629-0.696636957521338)×R²
    abs(0.65112691-0.65107897)×2.39615672906757e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39615672906757e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39615672906757e-05×40589641000000     		ar = 45276.5874677784m²