Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79113 / 83223
↖ ↑ ↗
← S 43.626135°
E 37.290344°		 ← 221.04 m → S 43.626135°
E 37.293091°		 →
↑
221.07 m
↓
↑
221.07 m
↓
S 43.628123°
E 37.290344°		 ← 221.03 m →
48 865 m²		 S 43.628123°
E 37.293091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603588104248047 y=0.634944915771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603588104248047 × 217)
    floor (0.603588104248047 × 131072)
    floor (79113.5)     		tx = 79113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634944915771484 × 217)
    floor (0.634944915771484 × 131072)
    floor (83223.5)     		ty = 83223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79113 / 83223 ti = "17/79113/83223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79113/83223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79113 ÷ 217
    79113 ÷ 131072     		x = 0.603584289550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83223 ÷ 217
    83223 ÷ 131072     		y = 0.634941101074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603584289550781 × 2 - 1) × π
    0.207168579101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.65083929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634941101074219 × 2 - 1) × π
    -0.269882202148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.847859943579933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65083929} λ = 0.65083929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.847859943579933))-π/2
    2×atan(0.428330603462758)-π/2
    2×0.404688312850708-π/2
    0.809376625701416-1.57079632675     		φ = -0.76141970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65083929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.290344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76141970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.626135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79113 KachelY 83223 0.65083929 -0.76141970 37.290344 -43.626135
    Oben rechts KachelX + 1 79114 KachelY 83223 0.65088722 -0.76141970 37.293091 -43.626135
    Unten links KachelX 79113 KachelY + 1 83224 0.65083929 -0.76145440 37.290344 -43.628123
    Unten rechts KachelX + 1 79114 KachelY + 1 83224 0.65088722 -0.76145440 37.293091 -43.628123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76141970--0.76145440) × R
    3.46999999999431e-05 × 6371000     		dl = 221.073699999638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76141970--0.76145440) × R
    3.46999999999431e-05 × 6371000     		dr = 221.073699999638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65083929-0.65088722) × cos(-0.76141970) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.723857218823041 × 6371000     		do = 221.038509770093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65083929-0.65088722) × cos(-0.76145440) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.723833277129185 × 6371000     		du = 221.031198885856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76141970)-sin(-0.76145440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723857218823041-0.723833277129185)×R²
    abs(0.65088722-0.65083929)×2.39416938557779e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39416938557779e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39416938557779e-05×40589641000000     		ar = 48864.9930800622m²