Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79112 / 83210
↖ ↑ ↗
← S 43.600284°
E 37.287598°		 ← 221.18 m → S 43.600284°
E 37.290344°		 →
↑
221.14 m
↓
↑
221.14 m
↓
S 43.602273°
E 37.287598°		 ← 221.17 m →
48 910 m²		 S 43.602273°
E 37.290344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603580474853516 y=0.634845733642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603580474853516 × 217)
    floor (0.603580474853516 × 131072)
    floor (79112.5)     		tx = 79112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634845733642578 × 217)
    floor (0.634845733642578 × 131072)
    floor (83210.5)     		ty = 83210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79112 / 83210 ti = "17/79112/83210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79112/83210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79112 ÷ 217
    79112 ÷ 131072     		x = 0.60357666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83210 ÷ 217
    83210 ÷ 131072     		y = 0.634841918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60357666015625 × 2 - 1) × π
    0.2071533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65079135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634841918945312 × 2 - 1) × π
    -0.269683837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.847236763884872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65079135} λ = 0.65079135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.847236763884872))-π/2
    2×atan(0.428597613586612)-π/2
    2×0.404913907898522-π/2
    0.809827815797043-1.57079632675     		φ = -0.76096851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65079135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.287598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76096851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.600284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79112 KachelY 83210 0.65079135 -0.76096851 37.287598 -43.600284
    Oben rechts KachelX + 1 79113 KachelY 83210 0.65083929 -0.76096851 37.290344 -43.600284
    Unten links KachelX 79112 KachelY + 1 83211 0.65079135 -0.76100322 37.287598 -43.602273
    Unten rechts KachelX + 1 79113 KachelY + 1 83211 0.65083929 -0.76100322 37.290344 -43.602273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76096851--0.76100322) × R
    3.47099999999934e-05 × 6371000     		dl = 221.137409999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76096851--0.76100322) × R
    3.47099999999934e-05 × 6371000     		dr = 221.137409999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65079135-0.65083929) × cos(-0.76096851) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724168443584139 × 6371000     		do = 221.179682766189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65079135-0.65083929) × cos(-0.76100322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.72414450632897 × 6371000     		du = 221.172371712315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76096851)-sin(-0.76100322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724168443584139-0.72414450632897)×R²
    abs(0.65083929-0.65079135)×2.39372551686934e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39372551686934e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39372551686934e-05×40589641000000     		ar = 48910.2938224848m²