Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79111 / 83269
↖ ↑ ↗
← S 43.717520°
E 37.284851°		 ← 220.75 m → S 43.717520°
E 37.287598°		 →
↑
220.76 m
↓
↑
220.76 m
↓
S 43.719505°
E 37.284851°		 ← 220.74 m →
48 731 m²		 S 43.719505°
E 37.287598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603572845458984 y=0.635295867919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603572845458984 × 217)
    floor (0.603572845458984 × 131072)
    floor (79111.5)     		tx = 79111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635295867919922 × 217)
    floor (0.635295867919922 × 131072)
    floor (83269.5)     		ty = 83269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79111 / 83269 ti = "17/79111/83269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79111/83269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79111 ÷ 217
    79111 ÷ 131072     		x = 0.603569030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83269 ÷ 217
    83269 ÷ 131072     		y = 0.635292053222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603569030761719 × 2 - 1) × π
    0.207138061523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.65074341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635292053222656 × 2 - 1) × π
    -0.270584106445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.850065040962456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65074341} λ = 0.65074341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.850065040962456))-π/2
    2×atan(0.427387133374218)-π/2
    2×0.40389083216075-π/2
    0.807781664321501-1.57079632675     		φ = -0.76301466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65074341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.284851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76301466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.717520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79111 KachelY 83269 0.65074341 -0.76301466 37.284851 -43.717520
    Oben rechts KachelX + 1 79112 KachelY 83269 0.65079135 -0.76301466 37.287598 -43.717520
    Unten links KachelX 79111 KachelY + 1 83270 0.65074341 -0.76304931 37.284851 -43.719505
    Unten rechts KachelX + 1 79112 KachelY + 1 83270 0.65079135 -0.76304931 37.287598 -43.719505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76301466--0.76304931) × R
    3.46500000000249e-05 × 6371000     		dl = 220.755150000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76301466--0.76304931) × R
    3.46500000000249e-05 × 6371000     		dr = 220.755150000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65074341-0.65079135) × cos(-0.76301466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.722755856247273 × 6371000     		do = 220.748242233512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65074341-0.65079135) × cos(-0.76304931) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.722731909079016 × 6371000     		du = 220.740928151926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76301466)-sin(-0.76304931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722755856247273-0.722731909079016)×R²
    abs(0.65079135-0.65074341)×2.39471682571546e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39471682571546e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39471682571546e-05×40589641000000     		ar = 48730.5040207088m²