Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7911 / 9653
↖ ↑ ↗
← S 30.543339°
W  6.174316°		 ← 2 104.21 m → S 30.543339°
W  6.152344°		 →
↑
2 104.02 m
↓
↑
2 104.02 m
↓
S 30.562261°
W  6.174316°		 ← 2 103.80 m →
4 426 867 m²		 S 30.562261°
W  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482879638671875 y=0.589202880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482879638671875 × 214)
    floor (0.482879638671875 × 16384)
    floor (7911.5)     		tx = 7911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589202880859375 × 214)
    floor (0.589202880859375 × 16384)
    floor (9653.5)     		ty = 9653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7911 / 9653 ti = "14/7911/9653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7911/9653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7911 ÷ 214
    7911 ÷ 16384     		x = 0.48284912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9653 ÷ 214
    9653 ÷ 16384     		y = 0.58917236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48284912109375 × 2 - 1) × π
    -0.0343017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10776215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58917236328125 × 2 - 1) × π
    -0.1783447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.560286482759216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10776215} λ = -0.10776215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.560286482759216))-π/2
    2×atan(0.571045445738117)-π/2
    2×0.518857248752365-π/2
    1.03771449750473-1.57079632675     		φ = -0.53308183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10776215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.174316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53308183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.543339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7911 KachelY 9653 -0.10776215 -0.53308183 -6.174316 -30.543339
    Oben rechts KachelX + 1 7912 KachelY 9653 -0.10737866 -0.53308183 -6.152344 -30.543339
    Unten links KachelX 7911 KachelY + 1 9654 -0.10776215 -0.53341208 -6.174316 -30.562261
    Unten rechts KachelX + 1 7912 KachelY + 1 9654 -0.10737866 -0.53341208 -6.152344 -30.562261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53308183--0.53341208) × R
    0.000330249999999976 × 6371000     		dl = 2104.02274999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53308183--0.53341208) × R
    0.000330249999999976 × 6371000     		dr = 2104.02274999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10776215--0.10737866) × cos(-0.53308183) × R
    0.00038349 × 0.861245007836189 × 6371000     		do = 2104.20654095904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10776215--0.10737866) × cos(-0.53341208) × R
    0.00038349 × 0.861077131138744 × 6371000     		du = 2103.79638212895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53308183)-sin(-0.53341208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861245007836189-0.861077131138744)×R²
    abs(-0.10737866--0.10776215)×0.000167876697444669×R²
    0.00038349×0.000167876697444669×6371000²
    0.00038349×0.000167876697444669×40589641000000     		ar = 4426866.98135704m²