Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79109 / 84348
↖ ↑ ↗
← S 45.821143°
E 37.279358°		 ← 212.85 m → S 45.821143°
E 37.282105°		 →
↑
212.86 m
↓
↑
212.86 m
↓
S 45.823058°
E 37.279358°		 ← 212.84 m →
45 306 m²		 S 45.823058°
E 37.282105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603557586669922 y=0.643527984619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603557586669922 × 217)
    floor (0.603557586669922 × 131072)
    floor (79109.5)     		tx = 79109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643527984619141 × 217)
    floor (0.643527984619141 × 131072)
    floor (84348.5)     		ty = 84348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79109 / 84348 ti = "17/79109/84348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79109/84348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79109 ÷ 217
    79109 ÷ 131072     		x = 0.603553771972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84348 ÷ 217
    84348 ÷ 131072     		y = 0.643524169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603553771972656 × 2 - 1) × π
    0.207107543945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.65064754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643524169921875 × 2 - 1) × π
    -0.28704833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.901788955652496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65064754} λ = 0.65064754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901788955652496))-π/2
    2×atan(0.405842974847001)-π/2
    2×0.38553325372026-π/2
    0.77106650744052-1.57079632675     		φ = -0.79972982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65064754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.279358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79972982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.821143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79109 KachelY 84348 0.65064754 -0.79972982 37.279358 -45.821143
    Oben rechts KachelX + 1 79110 KachelY 84348 0.65069548 -0.79972982 37.282105 -45.821143
    Unten links KachelX 79109 KachelY + 1 84349 0.65064754 -0.79976323 37.279358 -45.823058
    Unten rechts KachelX + 1 79110 KachelY + 1 84349 0.65069548 -0.79976323 37.282105 -45.823058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79972982--0.79976323) × R
    3.34100000000115e-05 × 6371000     		dl = 212.855110000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79972982--0.79976323) × R
    3.34100000000115e-05 × 6371000     		dr = 212.855110000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65064754-0.65069548) × cos(-0.79972982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.696900499184616 × 6371000     		do = 212.851350669691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65064754-0.65069548) × cos(-0.79976323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.69687653821852 × 6371000     		du = 212.84403237389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79972982)-sin(-0.79976323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696900499184616-0.69687653821852)×R²
    abs(0.65069548-0.65064754)×2.3960966095804e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3960966095804e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3960966095804e-05×40589641000000     		ar = 45305.7187963455m²