Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79107 / 84346
↖ ↑ ↗
← S 45.817315°
E 37.273864°		 ← 212.87 m → S 45.817315°
E 37.276611°		 →
↑
212.86 m
↓
↑
212.86 m
↓
S 45.819229°
E 37.273864°		 ← 212.86 m →
45 309 m²		 S 45.819229°
E 37.276611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603542327880859 y=0.643512725830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603542327880859 × 217)
    floor (0.603542327880859 × 131072)
    floor (79107.5)     		tx = 79107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643512725830078 × 217)
    floor (0.643512725830078 × 131072)
    floor (84346.5)     		ty = 84346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79107 / 84346 ti = "17/79107/84346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79107/84346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79107 ÷ 217
    79107 ÷ 131072     		x = 0.603538513183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84346 ÷ 217
    84346 ÷ 131072     		y = 0.643508911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603538513183594 × 2 - 1) × π
    0.207077026367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.65055166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643508911132812 × 2 - 1) × π
    -0.287017822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.901693081853256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65055166} λ = 0.65055166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901693081853256))-π/2
    2×atan(0.405881886420165)-π/2
    2×0.385566662118059-π/2
    0.771133324236119-1.57079632675     		φ = -0.79966300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65055166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.273864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79966300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.817315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79107 KachelY 84346 0.65055166 -0.79966300 37.273864 -45.817315
    Oben rechts KachelX + 1 79108 KachelY 84346 0.65059960 -0.79966300 37.276611 -45.817315
    Unten links KachelX 79107 KachelY + 1 84347 0.65055166 -0.79969641 37.273864 -45.819229
    Unten rechts KachelX + 1 79108 KachelY + 1 84347 0.65059960 -0.79969641 37.276611 -45.819229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79966300--0.79969641) × R
    3.34100000000115e-05 × 6371000     		dl = 212.855110000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79966300--0.79969641) × R
    3.34100000000115e-05 × 6371000     		dr = 212.855110000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65055166-0.65059960) × cos(-0.79966300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.696948418783081 × 6371000     		do = 212.865986548513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65055166-0.65059960) × cos(-0.79969641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.696924459372812 × 6371000     		du = 212.858668727901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79966300)-sin(-0.79969641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696948418783081-0.696924459372812)×R²
    abs(0.65059960-0.65055166)×2.39594102691143e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39594102691143e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39594102691143e-05×40589641000000     		ar = 45308.8341684889m²