Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79107 / 83215
↖ ↑ ↗
← S 43.610228°
E 37.273864°		 ← 221.14 m → S 43.610228°
E 37.276611°		 →
↑
221.14 m
↓
↑
221.14 m
↓
S 43.612217°
E 37.273864°		 ← 221.14 m →
48 902 m²		 S 43.612217°
E 37.276611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603542327880859 y=0.634883880615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603542327880859 × 217)
    floor (0.603542327880859 × 131072)
    floor (79107.5)     		tx = 79107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634883880615234 × 217)
    floor (0.634883880615234 × 131072)
    floor (83215.5)     		ty = 83215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79107 / 83215 ti = "17/79107/83215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79107/83215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79107 ÷ 217
    79107 ÷ 131072     		x = 0.603538513183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83215 ÷ 217
    83215 ÷ 131072     		y = 0.634880065917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603538513183594 × 2 - 1) × π
    0.207077026367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.65055166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634880065917969 × 2 - 1) × π
    -0.269760131835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.847476448382973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65055166} λ = 0.65055166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.847476448382973))-π/2
    2×atan(0.428494897692908)-π/2
    2×0.404827129096187-π/2
    0.809654258192374-1.57079632675     		φ = -0.76114207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65055166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.273864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76114207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.610228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79107 KachelY 83215 0.65055166 -0.76114207 37.273864 -43.610228
    Oben rechts KachelX + 1 79108 KachelY 83215 0.65059960 -0.76114207 37.276611 -43.610228
    Unten links KachelX 79107 KachelY + 1 83216 0.65055166 -0.76117678 37.273864 -43.612217
    Unten rechts KachelX + 1 79108 KachelY + 1 83216 0.65059960 -0.76117678 37.276611 -43.612217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76114207--0.76117678) × R
    3.47099999999934e-05 × 6371000     		dl = 221.137409999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76114207--0.76117678) × R
    3.47099999999934e-05 × 6371000     		dr = 221.137409999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65055166-0.65059960) × cos(-0.76114207) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724048741686718 × 6371000     		do = 221.14312272559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65055166-0.65059960) × cos(-0.76117678) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724024800069398 × 6371000     		du = 221.135810339403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76114207)-sin(-0.76117678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724048741686718-0.724024800069398)×R²
    abs(0.65059960-0.65055166)×2.39416173204443e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39416173204443e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39416173204443e-05×40589641000000     		ar = 48902.2088825868m²