Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79102 / 84222
↖ ↑ ↗
← S 45.579445°
E 37.260132°		 ← 213.77 m → S 45.579445°
E 37.262879°		 →
↑
213.75 m
↓
↑
213.75 m
↓
S 45.581367°
E 37.260132°		 ← 213.77 m →
45 693 m²		 S 45.581367°
E 37.262879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603504180908203 y=0.642566680908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603504180908203 × 217)
    floor (0.603504180908203 × 131072)
    floor (79102.5)     		tx = 79102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642566680908203 × 217)
    floor (0.642566680908203 × 131072)
    floor (84222.5)     		ty = 84222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79102 / 84222 ti = "17/79102/84222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79102/84222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79102 ÷ 217
    79102 ÷ 131072     		x = 0.603500366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84222 ÷ 217
    84222 ÷ 131072     		y = 0.642562866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603500366210938 × 2 - 1) × π
    0.207000732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.65031198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642562866210938 × 2 - 1) × π
    -0.285125732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.895748906300369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65031198} λ = 0.65031198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895748906300369))-π/2
    2×atan(0.408301704393209)-π/2
    2×0.38764246916744-π/2
    0.775284938334879-1.57079632675     		φ = -0.79551139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65031198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.260132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79551139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.579445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79102 KachelY 84222 0.65031198 -0.79551139 37.260132 -45.579445
    Oben rechts KachelX + 1 79103 KachelY 84222 0.65035992 -0.79551139 37.262879 -45.579445
    Unten links KachelX 79102 KachelY + 1 84223 0.65031198 -0.79554494 37.260132 -45.581367
    Unten rechts KachelX + 1 79103 KachelY + 1 84223 0.65035992 -0.79554494 37.262879 -45.581367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79551139--0.79554494) × R
    3.35499999999378e-05 × 6371000     		dl = 213.747049999604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79551139--0.79554494) × R
    3.35499999999378e-05 × 6371000     		dr = 213.747049999604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65031198-0.65035992) × cos(-0.79551139) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.699919611778884 × 6371000     		do = 213.773465367938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65031198-0.65035992) × cos(-0.79554494) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.699895649249279 × 6371000     		du = 213.766146594601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79551139)-sin(-0.79554494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699919611778884-0.699895649249279)×R²
    abs(0.65035992-0.65031198)×2.39625296043489e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39625296043489e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39625296043489e-05×40589641000000     		ar = 45692.6654117046m²