Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 791 / 762
↖ ↑ ↗
← S 65.658274°
E 98.085938°		 ← 16.113 km → S 65.658274°
E 98.437500°		 →
↑
16.068 km
↓
↑
16.068 km
↓
S 65.802776°
E 98.085938°		 ← 16.023 km →
258.177 km²		 S 65.802776°
E 98.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77294921875 y=0.74462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77294921875 × 210)
    floor (0.77294921875 × 1024)
    floor (791.5)     		tx = 791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74462890625 × 210)
    floor (0.74462890625 × 1024)
    floor (762.5)     		ty = 762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 791 / 762 ti = "10/791/762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/791/762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 791 ÷ 210
    791 ÷ 1024     		x = 0.7724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 762 ÷ 210
    762 ÷ 1024     		y = 0.744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7724609375 × 2 - 1) × π
    0.544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71192256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744140625 × 2 - 1) × π
    -0.48828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71192256} λ = 1.71192256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5339807878418))-π/2
    2×atan(0.215675398174743)-π/2
    2×0.212421627631848-π/2
    0.424843255263695-1.57079632675     		φ = -1.14595307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71192256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.085938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14595307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.658274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 791 KachelY 762 1.71192256 -1.14595307 98.085938 -65.658274
    Oben rechts KachelX + 1 792 KachelY 762 1.71805848 -1.14595307 98.437500 -65.658274
    Unten links KachelX 791 KachelY + 1 763 1.71192256 -1.14847510 98.085938 -65.802776
    Unten rechts KachelX + 1 792 KachelY + 1 763 1.71805848 -1.14847510 98.437500 -65.802776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14595307--1.14847510) × R
    0.00252202999999995 × 6371000     		dl = 16067.8531299997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14595307--1.14847510) × R
    0.00252202999999995 × 6371000     		dr = 16067.8531299997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71192256-1.71805848) × cos(-1.14595307) × R
    0.00613591999999996 × 0.412177977547995 × 6371000     		do = 16112.8393725923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71192256-1.71805848) × cos(-1.14847510) × R
    0.00613591999999996 × 0.409878839145317 × 6371000     		du = 16022.9615775726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14595307)-sin(-1.14847510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412177977547995-0.409878839145317)×R²
    abs(1.71805848-1.71192256)×0.00229913840267804×R²
    0.00613591999999996×0.00229913840267804×6371000²
    0.00613591999999996×0.00229913840267804×40589641000000     		ar = 258176801.788475m²