Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 791 / 1099
↖ ↑ ↗
← N 63.743631°
W110.478516°		 ← 4 323.46 m → N 63.743631°
W110.390625°		 →
↑
4 326.42 m
↓
↑
4 326.42 m
↓
N 63.704723°
W110.478516°		 ← 4 329.41 m →
18 717 953 m²		 N 63.704723°
W110.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1932373046875 y=0.2684326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1932373046875 × 212)
    floor (0.1932373046875 × 4096)
    floor (791.5)     		tx = 791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2684326171875 × 212)
    floor (0.2684326171875 × 4096)
    floor (1099.5)     		ty = 1099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 791 / 1099 ti = "12/791/1099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/791/1099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 791 ÷ 212
    791 ÷ 4096     		x = 0.193115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1099 ÷ 212
    1099 ÷ 4096     		y = 0.268310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.193115234375 × 2 - 1) × π
    -0.61376953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.92821385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268310546875 × 2 - 1) × π
    0.46337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45574776766187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.92821385} λ = -1.92821385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45574776766187))-π/2
    2×atan(4.28768846193246)-π/2
    2×1.34166628223617-π/2
    2.68333256447234-1.57079632675     		φ = 1.11253624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.92821385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -110.478516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11253624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.743631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 791 KachelY 1099 -1.92821385 1.11253624 -110.478516 63.743631
    Oben rechts KachelX + 1 792 KachelY 1099 -1.92667987 1.11253624 -110.390625 63.743631
    Unten links KachelX 791 KachelY + 1 1100 -1.92821385 1.11185716 -110.478516 63.704723
    Unten rechts KachelX + 1 792 KachelY + 1 1100 -1.92667987 1.11185716 -110.390625 63.704723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11253624-1.11185716) × R
    0.000679080000000054 × 6371000     		dl = 4326.41868000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11253624-1.11185716) × R
    0.000679080000000054 × 6371000     		dr = 4326.41868000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.92821385--1.92667987) × cos(1.11253624) × R
    0.00153397999999982 × 0.442388382197799 × 6371000     		do = 4323.4557223665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.92821385--1.92667987) × cos(1.11185716) × R
    0.00153397999999982 × 0.442997295098646 × 6371000     		du = 4329.40661997487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11253624)-sin(1.11185716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442388382197799-0.442997295098646)×R²
    abs(-1.92667987--1.92821385)×0.000608912900847469×R²
    0.00153397999999982×0.000608912900847469×6371000²
    0.00153397999999982×0.000608912900847469×40589641000000     		ar = 18717953.3560037m²