Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7909 / 4869
↖ ↑ ↗
← N 58.756805°
W  6.218262°		 ← 1 267.23 m → N 58.756805°
W  6.196289°		 →
↑
1 267.45 m
↓
↑
1 267.45 m
↓
N 58.745407°
W  6.218262°		 ← 1 267.64 m →
1 606 405 m²		 N 58.745407°
W  6.196289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482757568359375 y=0.297210693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482757568359375 × 214)
    floor (0.482757568359375 × 16384)
    floor (7909.5)     		tx = 7909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297210693359375 × 214)
    floor (0.297210693359375 × 16384)
    floor (4869.5)     		ty = 4869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7909 / 4869 ti = "14/7909/4869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7909/4869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7909 ÷ 214
    7909 ÷ 16384     		x = 0.48272705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4869 ÷ 214
    4869 ÷ 16384     		y = 0.29718017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48272705078125 × 2 - 1) × π
    -0.0345458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10852914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29718017578125 × 2 - 1) × π
    0.4056396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27435453949957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10852914} λ = -0.10852914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27435453949957))-π/2
    2×atan(3.57639224501613)-π/2
    2×1.2981480197613-π/2
    2.59629603952259-1.57079632675     		φ = 1.02549971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10852914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.218262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02549971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.756805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7909 KachelY 4869 -0.10852914 1.02549971 -6.218262 58.756805
    Oben rechts KachelX + 1 7910 KachelY 4869 -0.10814565 1.02549971 -6.196289 58.756805
    Unten links KachelX 7909 KachelY + 1 4870 -0.10852914 1.02530077 -6.218262 58.745407
    Unten rechts KachelX + 1 7910 KachelY + 1 4870 -0.10814565 1.02530077 -6.196289 58.745407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02549971-1.02530077) × R
    0.000198939999999981 × 6371000     		dl = 1267.44673999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02549971-1.02530077) × R
    0.000198939999999981 × 6371000     		dr = 1267.44673999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10852914--0.10814565) × cos(1.02549971) × R
    0.00038349 × 0.518671712811411 × 6371000     		do = 1267.22639989547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10852914--0.10814565) × cos(1.02530077) × R
    0.00038349 × 0.518841790970962 × 6371000     		du = 1267.64193737034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02549971)-sin(1.02530077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518671712811411-0.518841790970962)×R²
    abs(-0.10814565--0.10852914)×0.000170078159550835×R²
    0.00038349×0.000170078159550835×6371000²
    0.00038349×0.000170078159550835×40589641000000     		ar = 1606405.31049607m²