Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79074 / 84262
↖ ↑ ↗
← S 45.656288°
E 37.183228°		 ← 213.44 m → S 45.656288°
E 37.185974°		 →
↑
213.43 m
↓
↑
213.43 m
↓
S 45.658207°
E 37.183228°		 ← 213.43 m →
45 553 m²		 S 45.658207°
E 37.185974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603290557861328 y=0.642871856689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603290557861328 × 217)
    floor (0.603290557861328 × 131072)
    floor (79074.5)     		tx = 79074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642871856689453 × 217)
    floor (0.642871856689453 × 131072)
    floor (84262.5)     		ty = 84262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79074 / 84262 ti = "17/79074/84262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79074/84262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79074 ÷ 217
    79074 ÷ 131072     		x = 0.603286743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84262 ÷ 217
    84262 ÷ 131072     		y = 0.642868041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603286743164062 × 2 - 1) × π
    0.206573486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64896975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642868041992188 × 2 - 1) × π
    -0.285736083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.897666382285171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64896975} λ = 0.64896975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.897666382285171))-π/2
    2×atan(0.407519545805284)-π/2
    2×0.386971889129618-π/2
    0.773943778259236-1.57079632675     		φ = -0.79685255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64896975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.183228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79685255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.656288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79074 KachelY 84262 0.64896975 -0.79685255 37.183228 -45.656288
    Oben rechts KachelX + 1 79075 KachelY 84262 0.64901768 -0.79685255 37.185974 -45.656288
    Unten links KachelX 79074 KachelY + 1 84263 0.64896975 -0.79688605 37.183228 -45.658207
    Unten rechts KachelX + 1 79075 KachelY + 1 84263 0.64901768 -0.79688605 37.185974 -45.658207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79685255--0.79688605) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dl = 213.428500000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79685255--0.79688605) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dr = 213.428500000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64896975-0.64901768) × cos(-0.79685255) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.698961097108324 × 6371000     		do = 213.436179504155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64896975-0.64901768) × cos(-0.79688605) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.698937138866449 × 6371000     		du = 213.428863566781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79685255)-sin(-0.79688605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698961097108324-0.698937138866449)×R²
    abs(0.64901768-0.64896975)×2.3958241874289e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3958241874289e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3958241874289e-05×40589641000000     		ar = 45552.582926773m²