Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79071 / 84261
↖ ↑ ↗
← S 45.654368°
E 37.174988°		 ← 213.44 m → S 45.654368°
E 37.177734°		 →
↑
213.49 m
↓
↑
213.49 m
↓
S 45.656288°
E 37.174988°		 ← 213.44 m →
45 568 m²		 S 45.656288°
E 37.177734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603267669677734 y=0.642864227294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603267669677734 × 217)
    floor (0.603267669677734 × 131072)
    floor (79071.5)     		tx = 79071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642864227294922 × 217)
    floor (0.642864227294922 × 131072)
    floor (84261.5)     		ty = 84261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79071 / 84261 ti = "17/79071/84261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79071/84261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79071 ÷ 217
    79071 ÷ 131072     		x = 0.603263854980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84261 ÷ 217
    84261 ÷ 131072     		y = 0.642860412597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603263854980469 × 2 - 1) × π
    0.206527709960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.64882594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642860412597656 × 2 - 1) × π
    -0.285720825195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.897618445385551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64882594} λ = 0.64882594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.897618445385551))-π/2
    2×atan(0.407539081497081)-π/2
    2×0.386988642430786-π/2
    0.773977284861572-1.57079632675     		φ = -0.79681904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64882594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.174988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79681904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.654368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79071 KachelY 84261 0.64882594 -0.79681904 37.174988 -45.654368
    Oben rechts KachelX + 1 79072 KachelY 84261 0.64887387 -0.79681904 37.177734 -45.654368
    Unten links KachelX 79071 KachelY + 1 84262 0.64882594 -0.79685255 37.174988 -45.656288
    Unten rechts KachelX + 1 79072 KachelY + 1 84262 0.64887387 -0.79685255 37.177734 -45.656288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79681904--0.79685255) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dl = 213.492209999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79681904--0.79685255) × R
    3.35099999999589e-05 × 6371000     		dr = 213.492209999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64882594-0.64887387) × cos(-0.79681904) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.698985061717151 × 6371000     		do = 213.443497385261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64882594-0.64887387) × cos(-0.79685255) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.698961097108324 × 6371000     		du = 213.436179503661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79681904)-sin(-0.79685255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698985061717151-0.698961097108324)×R²
    abs(0.64887387-0.64882594)×2.396460882792e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.396460882792e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.396460882792e-05×40589641000000     		ar = 45567.7428156528m²