Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7907 / 9595
↖ ↑ ↗
← S 29.439598°
W  6.262207°		 ← 2 127.73 m → S 29.439598°
W  6.240235°		 →
↑
2 127.53 m
↓
↑
2 127.53 m
↓
S 29.458731°
W  6.262207°		 ← 2 127.33 m →
4 526 393 m²		 S 29.458731°
W  6.240235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482635498046875 y=0.585662841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482635498046875 × 214)
    floor (0.482635498046875 × 16384)
    floor (7907.5)     		tx = 7907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585662841796875 × 214)
    floor (0.585662841796875 × 16384)
    floor (9595.5)     		ty = 9595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7907 / 9595 ti = "14/7907/9595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7907/9595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7907 ÷ 214
    7907 ÷ 16384     		x = 0.48260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9595 ÷ 214
    9595 ÷ 16384     		y = 0.58563232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48260498046875 × 2 - 1) × π
    -0.0347900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10929613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58563232421875 × 2 - 1) × π
    -0.1712646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.53804376133551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10929613} λ = -0.10929613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.53804376133551))-π/2
    2×atan(0.583889362815224)-π/2
    2×0.528489209404479-π/2
    1.05697841880896-1.57079632675     		φ = -0.51381791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10929613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.262207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51381791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.439598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7907 KachelY 9595 -0.10929613 -0.51381791 -6.262207 -29.439598
    Oben rechts KachelX + 1 7908 KachelY 9595 -0.10891264 -0.51381791 -6.240235 -29.439598
    Unten links KachelX 7907 KachelY + 1 9596 -0.10929613 -0.51415185 -6.262207 -29.458731
    Unten rechts KachelX + 1 7908 KachelY + 1 9596 -0.10891264 -0.51415185 -6.240235 -29.458731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51381791--0.51415185) × R
    0.000333939999999977 × 6371000     		dl = 2127.53173999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51381791--0.51415185) × R
    0.000333939999999977 × 6371000     		dr = 2127.53173999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10929613--0.10891264) × cos(-0.51381791) × R
    0.00038349 × 0.87087433463623 × 6371000     		do = 2127.73305461465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10929613--0.10891264) × cos(-0.51415185) × R
    0.00038349 × 0.87071015265401 × 6371000     		du = 2127.33192276744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51381791)-sin(-0.51415185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87087433463623-0.87071015265401)×R²
    abs(-0.10891264--0.10929613)×0.000164181982220679×R²
    0.00038349×0.000164181982220679×6371000²
    0.00038349×0.000164181982220679×40589641000000     		ar = 4526392.9396347m²