Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7907 / 4870
↖ ↑ ↗
← N 58.745407°
W  6.262207°		 ← 1 267.64 m → N 58.745407°
W  6.240235°		 →
↑
1 267.83 m
↓
↑
1 267.83 m
↓
N 58.734005°
W  6.262207°		 ← 1 268.06 m →
1 607 417 m²		 N 58.734005°
W  6.240235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482635498046875 y=0.297271728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482635498046875 × 214)
    floor (0.482635498046875 × 16384)
    floor (7907.5)     		tx = 7907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297271728515625 × 214)
    floor (0.297271728515625 × 16384)
    floor (4870.5)     		ty = 4870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7907 / 4870 ti = "14/7907/4870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7907/4870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7907 ÷ 214
    7907 ÷ 16384     		x = 0.48260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4870 ÷ 214
    4870 ÷ 16384     		y = 0.2972412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48260498046875 × 2 - 1) × π
    -0.0347900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10929613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2972412109375 × 2 - 1) × π
    0.405517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27397104430261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10929613} λ = -0.10929613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27397104430261))-π/2
    2×atan(3.57502097872155)-π/2
    2×1.29804854940088-π/2
    2.59609709880175-1.57079632675     		φ = 1.02530077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10929613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.262207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02530077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.745407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7907 KachelY 4870 -0.10929613 1.02530077 -6.262207 58.745407
    Oben rechts KachelX + 1 7908 KachelY 4870 -0.10891264 1.02530077 -6.240235 58.745407
    Unten links KachelX 7907 KachelY + 1 4871 -0.10929613 1.02510177 -6.262207 58.734005
    Unten rechts KachelX + 1 7908 KachelY + 1 4871 -0.10891264 1.02510177 -6.240235 58.734005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02530077-1.02510177) × R
    0.00019900000000006 × 6371000     		dl = 1267.82900000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02530077-1.02510177) × R
    0.00019900000000006 × 6371000     		dr = 1267.82900000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10929613--0.10891264) × cos(1.02530077) × R
    0.00038349 × 0.518841790970962 × 6371000     		do = 1267.64193737034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10929613--0.10891264) × cos(1.02510177) × R
    0.00038349 × 0.519011899882269 × 6371000     		du = 1268.05754997836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02530077)-sin(1.02510177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518841790970962-0.519011899882269)×R²
    abs(-0.10891264--0.10929613)×0.000170108911306976×R²
    0.00038349×0.000170108911306976×6371000²
    0.00038349×0.000170108911306976×40589641000000     		ar = 1607416.67797667m²