Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79064 / 83231
↖ ↑ ↗
← S 43.642038°
E 37.155762°		 ← 220.98 m → S 43.642038°
E 37.158508°		 →
↑
221.01 m
↓
↑
221.01 m
↓
S 43.644026°
E 37.155762°		 ← 220.97 m →
48 838 m²		 S 43.644026°
E 37.158508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603214263916016 y=0.635005950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603214263916016 × 217)
    floor (0.603214263916016 × 131072)
    floor (79064.5)     		tx = 79064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635005950927734 × 217)
    floor (0.635005950927734 × 131072)
    floor (83231.5)     		ty = 83231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79064 / 83231 ti = "17/79064/83231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79064/83231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79064 ÷ 217
    79064 ÷ 131072     		x = 0.60321044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83231 ÷ 217
    83231 ÷ 131072     		y = 0.635002136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60321044921875 × 2 - 1) × π
    0.2064208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64849038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635002136230469 × 2 - 1) × π
    -0.270004272460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.848243438776894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64849038} λ = 0.64849038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848243438776894))-π/2
    2×atan(0.428166372226577)-π/2
    2×0.404549533330099-π/2
    0.809099066660197-1.57079632675     		φ = -0.76169726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64849038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.155762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76169726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.642038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79064 KachelY 83231 0.64849038 -0.76169726 37.155762 -43.642038
    Oben rechts KachelX + 1 79065 KachelY 83231 0.64853831 -0.76169726 37.158508 -43.642038
    Unten links KachelX 79064 KachelY + 1 83232 0.64849038 -0.76173195 37.155762 -43.644026
    Unten rechts KachelX + 1 79065 KachelY + 1 83232 0.64853831 -0.76173195 37.158508 -43.644026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76169726--0.76173195) × R
    3.46900000000039e-05 × 6371000     		dl = 221.009990000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76169726--0.76173195) × R
    3.46900000000039e-05 × 6371000     		dr = 221.009990000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64849038-0.64853831) × cos(-0.76169726) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.723665688476146 × 6371000     		do = 220.980023674047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64849038-0.64853831) × cos(-0.76173195) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.723641746713376 × 6371000     		du = 220.972712768766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76169726)-sin(-0.76173195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723665688476146-0.723641746713376)×R²
    abs(0.64853831-0.64849038)×2.39417627694305e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39417627694305e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39417627694305e-05×40589641000000     		ar = 48837.9849357411m²