Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79064 / 83228
↖ ↑ ↗
← S 43.636075°
E 37.155762°		 ← 221 m → S 43.636075°
E 37.158508°		 →
↑
221.07 m
↓
↑
221.07 m
↓
S 43.638063°
E 37.155762°		 ← 220.99 m →
48 857 m²		 S 43.638063°
E 37.158508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603214263916016 y=0.634983062744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603214263916016 × 217)
    floor (0.603214263916016 × 131072)
    floor (79064.5)     		tx = 79064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634983062744141 × 217)
    floor (0.634983062744141 × 131072)
    floor (83228.5)     		ty = 83228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79064 / 83228 ti = "17/79064/83228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79064/83228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79064 ÷ 217
    79064 ÷ 131072     		x = 0.60321044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83228 ÷ 217
    83228 ÷ 131072     		y = 0.634979248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60321044921875 × 2 - 1) × π
    0.2064208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64849038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634979248046875 × 2 - 1) × π
    -0.26995849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.848099628078033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64849038} λ = 0.64849038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848099628078033))-π/2
    2×atan(0.428227951559572)-π/2
    2×0.40460157134657-π/2
    0.809203142693139-1.57079632675     		φ = -0.76159318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64849038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.155762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76159318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.636075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79064 KachelY 83228 0.64849038 -0.76159318 37.155762 -43.636075
    Oben rechts KachelX + 1 79065 KachelY 83228 0.64853831 -0.76159318 37.158508 -43.636075
    Unten links KachelX 79064 KachelY + 1 83229 0.64849038 -0.76162788 37.155762 -43.638063
    Unten rechts KachelX + 1 79065 KachelY + 1 83229 0.64853831 -0.76162788 37.158508 -43.638063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76159318--0.76162788) × R
    3.47000000000541e-05 × 6371000     		dl = 221.073700000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76159318--0.76162788) × R
    3.47000000000541e-05 × 6371000     		dr = 221.073700000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64849038-0.64853831) × cos(-0.76159318) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.723737515439954 × 6371000     		do = 221.001956901524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64849038-0.64853831) × cos(-0.76162788) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.723713569389086 × 6371000     		du = 220.994644686821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76159318)-sin(-0.76162788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723737515439954-0.723713569389086)×R²
    abs(0.64853831-0.64849038)×2.39460508673073e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39460508673073e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39460508673073e-05×40589641000000     		ar = 48856.9120553183m²